Question

在区间[0,+∞）上的非负可导函数f(x)满足f²(x)=∫(0,x)1+f²(t)/1+t²dt，如下图第一题？

第一题判断极值是否存在，对条件等式两边对x求导得出后化成这样子，f'(x)=1+f²(x)/（1+x²）2f(x)，由题知f(0)不是可以等于0吗，这里为什么f'(x)≠0

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Answer 1

f(0)=0并不能推出f'(0)=0。由求导后那个等式可以看出，等式右边恒大于零，因此当x趋于零时，f(x)f'(x)为一正值，而f(0)=0，故f'(0)≠0且f'(0)＞0。之后f(x)＞0，因此f'(x)＞0。

追答

那个f(0)=0，没问题，那两个是乘积形式f(x)f'(x)，这个可以是个正值，比如f(x)=x，f'(x)=1/x，f(x)•f'(x)=1(例子可能不对，只是为了说明情况)。这个是乘积形式，f'(x)的情况不知道，你就考虑0•∞不定式极限的情况，因为乘积的f'(x)是与x有关的，不能直接让其为零，要整体考虑乘积形式。

Answer 2

这里利用的是两个数乘积不等于0，所以两个数都不等于0，这和f(0)是否为0有什么关系？而且这里肯定可以得到f(0)非0啊，道理和f'(0)不等于0一样

你图里问题和你文字还不一样，如果x=0时，结果不就是2f'(0)f(0)=1，为什么它等于0啊？

追问

我是这样想的，这想的是不是有错误

追答

这肯定不行，等于0的数乘以任何数都等于0，怎么可能得到右侧不等于0的式子

Answer 3