Question

高等数学。函数。极限。问题如图。

答案是第25题。我划线的地方就是我不能理解的。谢谢

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Answer 1

解：
由题意：
lim(n→∞) [1/n^(k+1) - 1/n^(k)] / [1-cos(2/n)] = C (C为常数)
易知：1-cos(2/n) ~ (1/2)(2/n)² = 2/n²
因此：
原极限=lim(n→∞) [1/n^(k+1) - 1/n^(k)] / (2/n²)
令t=1/n，则t→0，于是：
原极限=lim(t→0) [t^(k+1) - t^(k)] / (2t²) （满足罗比达法则，因此使用罗比达法则）
=lim(t→0) [(k+1)t^k -kt^(k-1)] / 4t (再次使用)
=lim(t→0) [(k+1)kt^(k-1) -k(k-1)t^(k-2)] / 4
上述分母已经是常数，因此：
原极限的分子一定不能为0，否则就是高阶无穷小了，
∴分子的最高此项需要和分母保持一致
即：k-1=0
k=1

实际上从lim(t→0) [t^(k+1) - t^(k)] / (2t²)就直接可以看出，k+1=2
k=1

再实际上根据罗比达法则有个推论：
若lim(x→0) {[anx^n+a(n-1)x^(n-1)+...+a0] / [[bmx^n+b(m-1)x^(m-1)+...+b0]}
若An(x)=anx^n+a(n-1)x^(n-1)+...+a0,
Bm(x)=bmx^m+b(m-1)x^(m-1)+...+b0
当An(x)是Bm(x)的高阶无穷小时：n>m
当An(x)是Bm(x)的同阶无穷小时：n=m ，且原极限=an/bm
当An(x)是Bm(x)的等阶无穷小时：n=m，且an=bm

追问

好像不对阿，我这里k的答案是2

追答

相信我，绝对是1；从过程就可以看出来！
你贴出来的解法最后算出来的极限=∞，这不是同阶，是低阶！你用的什么资料啊，真挫！
lim [(1/n³ - 1/n²) / (2/n²)]
=(1/2)lim [(n²-n)/n³] / (n²)
=(1/2)lim [n²(n²-n)/n³]
=(1/2)lim [n^4-n³]/(n³)
=(1/2)lim(n-1)
=∞
因此，资料上的解是错的！！！！！

亲，加点分吧，打了这么多不容易啊！

追问

不好意思了，麻烦你了，给你加分吧

Answer 2

额，难啊，我才小学，给了我一个可怕的印象。

追问

呵呵，好好学数学了，认真学就不难了。