Question

已知函数f(x)=xe^-x(x∈R) (1)求函数f(x)的单调区间和极值

已知函数f(x)=xe^-x(x∈R)
(1)求函数f(x)的单调区间和极值

(2)已知函数y=g（x）的图像与函数y=f（x）的图像关于直线x=1对称，证明x＞1时，f（x）＞g（x）
(3)如果x1≠x2，且f（x1）=g（x2），证明x1+x2=2

Answer 1

已知函数f(x)=xe^-x(x∈R)
(1)求函数f(x)的单调区间和极值
(2)已知函数y=g（x）的图像与函数y=f（x）的图像关于直线x=1对称，证明x＞1时，f（x）＞g（x）(3)如果x1≠x2，且f（x1）=g（x2），证明x1+x2=2

(1)解析：∵函数f(x)=xe^(-x)
令f’(x)=(1-x)e^(-x)=0==>x=1
f’’(x)=(x-2)e^(-x)==>f’’(1)=-1/e<0
∴f(x)在x=1处取极大值1/e
∴f(x)在x<1时，单调增；在x>1时单调减；

(2)证明：∵函数y=g（x）的图像与函数y=f（x）的图像关于直线x=1对称
函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a成轴对称。
∵函数y=f(x)=xe^(-x)
∴y=g(x)=f(2-x)=(2-x)e^(x-2)
∵x>1
设h(x)=xe^(-x)-(2-x)e^(x-2)
令h’(x)=(1-x)e^(-x)-(1-x)e^(x-2)=(1-x)*[e^(-x)-e^(x-2)]>0
∴h(x)单调增，h(1)=e^(-1)-e^(-1)=0
∴当x>1时，h(x)>0
∴f（x）＞g（x）成立；

(3)证明：设x1≠x2，且f（x1）=g（x2）
∵函数y=g（x）的图像与函数y=f（x）的图像关于直线x=1对称
∴x1与x2关于直线x=1对称
即当x2>1>x1时1-x1=x2-1==>x1+x2=2
当x1>1>x2时1-x2=x1-1==>x1+x2=2
此问好象有点问题，当x1,x2在1的同一侧时，x1+x2≠2

Answer 2

（1）f'(x)=e^(-x) -x·e^(-x)=(1-x)·e^(-x)
令f'(x)>0，解得 x<1，即f(x)在(-∞，1)上是增函数，
同理，f(x)在(1，+∞)上是减函数。
（2）g(x)与f(x)关于x=1对称，
则g(1+x)=f(1-x)=(1-x)·e^(x-1)
所以 g(x)=(2-x)·e^(x-2)，g'(x)=(1-x)·e^(x-2)
，f'(x)-g'(x)=(1-x)·[e^(-x) -e^(x-2)]
令h(x)=e^(-x)-e^(x-2)，则h'(x)=-e^(-x) -e^(x-2)<0，即h(x)是减函数，
所以，当x>1时，有h(x)<h(1)=0，
于是 有f'(x)-g'(x)=(1-x)·h(x)>0，
从而 f(x)-g(x)是[1，+∞)上的增函数，
所以 f(x)-g(x)>f(1)-g(1)=1/e -1/e=0
即f(x)>g(x)
（3）由（2）不难得出，当x<1时，有f(x)<g(x)，于是
若 x1≠x2，且f(x1)=g(x2)，则x1,x2中一个小于1，一个大于1，不妨设
x1<1<x2，而g(x2)=f(2-x2)
从而 f(x1)=f(2-x2)，x1，2-x2都属于单调增区间(-∞，1)，
从而 x1=2-x2，
即 x1+x2=2

Answer 3

解答：
（1）f′（x）=e^（-x）+x*【-e^（-x）】=（1-x）e（-x）
令f′（x）=0，则x=1
列表如下
x （-∞，1） 1 （1，+∞）
y' + 0 -
y 递增 极小值 递减
∴ f（x）在（-∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数．
函数f（x）有极大值，为f（1），f（1）=1*^（-1）=1/e
（2）
证明：
由已知，可得g（x）=f（2-x），
∴g（x）=（2-x）e^（x-2）
∴ g'（x）=-e^（x-2）+（2-x）*e^（x-2）=e^（x-2）（1-x）
f′（x）=e^（-x）+x*【-e^（-x）】=（1-x）e（-x）
构造函数F（x）=f（x）-g（x），
∴ F'（x）=f'（x）-g'（x）
∴ F'（x）=（x-1）*【e（2x-2）-1】*e（-x）
∵ x＞1时，2x-2＞0，∴ e^（2x-2）-1＞0，
又∵ e（-x）＞0，
∴ f′（x）＞0，
∴函数F（x）在[1，+∞）是增函数．
又∵F（1）=e^（-1）-e^（-1）=0，
∴ x＞1时，有F（x）＞F（1）=0，
即f（x）＞g（x）．
（3）证明：
题目有误
f（2）=2/e²
函数y=g（x）的图像与函数y=f（x）的图像关于直线x=1对称
g（x）=（2-x）e^（x-2）
∴ g（x）在（1，+∞）内是减函数
当 x-->正无穷大，g（x）=（2-x）e^（x-2）-->负无穷大
g（1）=1/e＞2/e²
∴ 在（1，+∞）上存在一个x0,使得 g（x0）=2/e²
又 g（2）=0≠2/e²
∴ x0≠2
即 g（x0）=f（2）
但 x0+2≠2
∴ 题目有误。

Answer 4

：∵函数f(x)=xe^(-x)
令f’(x)=(1-x)e^(-x)=0==>x=1
f’’(x)=(x-2)e^(-x)==>f’’(1)=-1/e<0
∴f(x)在x=1处取极大值1/e
∴f(x)在x<1时，单调增；在x>1时单调减；

(2)证明：∵函数y=g（x）的图像与函数y=f（x）的图像关于直线x=1对称
函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a成轴对称。
∵函数y=f(x)=xe^(-x)
∴y=g(x)=f(2-x)=(2-x)e^(x-2)
∵x>1
设h(x)=xe^(-x)-(2-x)e^(x-2)
令h’(x)=(1-x)e^(-x)-(1-x)e^(x-2)=(1-x)*[e^(-x)-e^(x-2)]>0
∴h(x)单调增，h(1)=e^(-1)-e^(-1)=0
∴当x>1时，h(x)>0
∴f（x）＞g（x）成立；

(3)证明：设x1≠x2，且f（x1）=g（x2）
∵函数y=g（x）的图像与函数y=f（x）的图像关于直线x=1对称
∴x1与x2关于直线x=1对称
即当x2>1>x1时1-x1=x2-1==>x1+x2=2
当x1>1>x2时1-x2=x1-1==>x1+x2=2

Answer 5

第三问打错了，应该是x1+x2大于2，这是天津有一年的高考题，我们月考考的。。我用的是二阶导。。不确定你能不能看懂。。求导之后再求导，根据二阶导变化规律作图，然后能证出来。