Question

f(x)=x(e^x-1)-ax^2,a∈R，其中e为自然对数的底数。 （II）若当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围

速度详细解

Answer 1

f(x)≧0

即：x(e^x-1)-ax²≧0
因为x≧0，所以，两边约去一个x得：
e^x-1-ax≧0
ax≦e^x-1
x=0时，0≦0，得：a∈R；
x>0时，a≦(e^x-1)/x
令g(x)=(e^x-1)/x，x>0
g'(x)=(xe^x-e^x+1)/x²=[(x-1)e^x+1]/x²
令h(x)=(x-1)e^x+1，x>0
h'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x>0
所以，h(x)=(x-1)e^x+1在(0,+∞)上递增，
则：h(x)>h(0)=0
所以，g'(x)=h(x)/x²>0
所以，g(x)=(e^x-1)/x在(0,+∞)上递增，
则：g(x)>g(0)，
lim(x→0)(e^x-1)/x=1
所以，g(x)>g(0)=1
所以，a≦1

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Answer 2

x(e^x-1)-ax^2>=0, ax^2<=x(e^x-1) ,当x>0时 a<=(e^x-1)/x 恒成立 即a<=[(e^x-1)/x]min
令g(x)=(e^x-1)/x (x>0) g'(x)=[xe^x-(e^x-1)]/x^2=[xe^x-e^x+1]/x^2 令 h(x)=xe^x-e^x+1 ,h'(x)=xe^x
显然，当x>0时 h‘(x)>0,且h(x) 在x=0处连续，从而

当x>0时 h(x)>h(0)=0, 从而

当x>0时 g'(x)>0 从而 当x>0时，g(x)>lim(x-->0)g(x)=lim(x-->0)(e^x-1)/x =1
故a<=1