Question

求复合函数导数的问题

它的导数怎么求?

Answer 1

f(x)=x-ln[ x+√(1+x²) ]，设g(x)=ln(x)，h(x)=√(1+x²)，
则f(x)=x-g[ x+h(x) ]，f'(x)=1-g'[ x+h(x) ]×[ x+h(x) ]'=1-g'[ x+h(x) ]×[1+h'(x)]
g‘(x)=1/x，h’(x)=1/2×(1+x²)^(-1/2)×2x=x/√(1+x²)

所以，f'(x)=1-[ 1-x/√(1+x²) ] / [ x+√(1+x²) ]
=1-{ [ 1-x / √(1+x² ) ] × [ x-√(1+x²) ] } / { [ x+√(1+x²) ] × [ x-√(1+x²) ] }
=1+[ 1- x /√(1+x²) ] × [ x-√(1+x²) ]
=1+x-x² / √(1+x²)-√(1+x²)+x
=1+2x-√(1+x²)-x² / √(1+x²)

追问

 1.讨论函数f（x）的单调性。解：函数的定义域为R，由于

知f（x）是R上的增函数。这是什么意思？定义域为什么直接写R，这个导数是怎求的？

追答

我的导函数求错了，应该是
f'(x)=1-[ 1+x/√(1+x²) ] / [ x+√(1+x²) ]
=1-{ [ 1+x / √(1+x² ) ] × [ x-√(1+x²) ] } / { [ x+√(1+x²) ] × [ x-√(1+x²) ] }
=1+[ 1+ x /√(1+x²) ] × [ x-√(1+x²) ]
=1+x+x² / √(1+x²)-√(1+x²)-x
=1-√(1+x²)+x² / √(1+x²)
=1-1/√(1+x²)
从原函数可知，x的定义域应该是x+√(1+x²)﹥0，√(1+x²)﹥-x，1+x²﹥x²，1﹥0，也就是说任意x都满足定义域，所以定义域为R。
由于1+x²≧1，所以√(1+x²)≧1，1/√(1+x²)≦1，1-1/√(1+x²)≧0，所以有f'(x)=1-1/√(1+x²)≧0，
导函数就是函数各点的斜率，斜率大于0就是增函数，所以f(x)为R上的增函数。

Answer 2

复合函数求导

Answer 3

可惜！ 这题如此简单， 但我却要翻书才能给出正确答案了。 丢久了， 都还老师了 。

Answer 4