Question

a+b+c=0,求证a²+b²+c²=-2(ab+bc+ac)

Answer 1

∵a+b+c=0

∴a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b
∴(a^2+b^2+c^2)-[-2(ab+bc+ac)]
=(a+b)^2+(b+c)^2+(a+c)^2-(a^2+b^2+c^2)
=(-c)^2+(-a)^2+(-b)^2-(a^2+b^2+c^2)
=c^2+a^2+b^2-(a^2+b^2+c^2)
=0
∴a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ac)
原式得证

Answer 2

这是个经典的题目. 经典不在于使用公式, 而是思维方式.
公式法, a+b+c=0, (a+b+c)²=0, a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=0, 得证a²+b²+c²=-2(ab+bc+ac)
思维方式, 当我们不了解某些特定的固定的定式时, 我们可以通过观察, 发现, 尝试来解决问题.
比如消元思路, 把a,b,c的三维问题降为a, b二位问题. 或则说, 用a和b可以代表c, 那么第三个量c也可以用前两个量a和b表示. 这是个非常关键的思路, c=-(a+b), 代入a²+b²+c²=a²+b²+(a+b)²=2a²+2ab+2b²=2a(a+b)+2b²=-2ac+2b², 出现2ac符合我的目标, 同理我得到三个式子
a²+b²+c²=-2ac+2b²
a²+b²+c²=-2ba+2c²
a²+b²+c²=-2cb+2a²
三个相加, 3(a²+b²+c²)=-6(ac+ba+cb)+6(a²+b²+c²)
整理一下, a²+b²+c²=-2(ab+bc+ac)
这里绕了远路, 比公式法慢了很多, 但很多高难题目, 就蕴含了自我解锁的法则, 用现有公式是不能马上套的, 题目的形式故意不能直接套用公式, 那么怎么让题目恒等变形的思路, 就是打开题目的关键钥匙.

Answer 3

(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）
a²+b²+c²=-2(ab+bc+ac)得a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）=0
所以(a+b+c)²=0 得a+b+c=0