a+b+c=0,求证a²+b²+c²=-2(ab+bc+ac)
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解如下图所示
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详细过程如图请参考
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证:因为a+b+c=0，所以(a+b+c)(a+b+c)=0即
(a^2)+ab+ac+ba+(b^2)+bc+ca+cb+(c^2)=0
因为ab=ba，bc=cb，ac=ca，所以
(a^2)+(b^2)+(c^2)+2ab+2bc+2ac=0
所以，(a^2)+(b^2)+(c^2)=-2(ab+bc+ac)
(a^2)+ab+ac+ba+(b^2)+bc+ca+cb+(c^2)=0
因为ab=ba，bc=cb，ac=ca，所以
(a^2)+(b^2)+(c^2)+2ab+2bc+2ac=0
所以，(a^2)+(b^2)+(c^2)=-2(ab+bc+ac)
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因为：a+b+c=0
两边平方得：(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=0
移项得：a²+b²+c²=-2(ab+bc+ac)
两边平方得：(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=0
移项得：a²+b²+c²=-2(ab+bc+ac)
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a+b+c = 0, 则 (a+b+c)² = 0, 展开移项得 a²+b²+c² = -2(ab+bc+ac)
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