Question

多元函数微分学的几何应用是什么？

Answer 1

曲线是xOy平面上的一个椭圆。

x²/4十y²/6=1

绕y轴旋转，x²十z²=上面的x²，代入得

x²/4十z²/4十y²/6=1

设F（x，y，z）= x²/4十z²/4十y²/6-1=0

法向量=（∂F/∂x, ∂F/∂y， ∂F/∂z ）

=（x/2,y/3,z/2）

=（0,√3/3,√2/2）

单位向量= （0,√3/3,√2/2）/√（0²十1/3十1/2）= （0,√3/3,√2/2）/√（5/6）

=（0,√（2/5）, √（3/5） ）

沿任何直线 y=kx 趋近于原点 (0,0) 时

f趋近于0。然而，当变量x，y沿抛物线 y=x2趋近于原点时，f趋近于0.5。由于沿不同路径取极限时函数值不同，故该函数在原点的极限不存在。

每一个变量的连续不是多元函数连续的充分条件:例如, 含有两个变量的实数函数f(x,y)，对于每一个固定的y，f关于x的函数在其定义域内连续。同样的，对于每一个固定的x，f关于y的函数在其定义域也内连续，但这不能说明原函数连续。