Question

已知抛物线y=3ax^2+2bx+c 若a=b=1，且当-1小于X小于1时，抛物线与X轴有且只有一个公共点，求C的取值范围

若a+b+c=0且x1=0时，对应的y1>0,x2=1时，对应的y2>0,试判断当0<x<1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明，若木有，请阐述理由

Answer 1

解:
(1)
抛物线:y=3x²+2x+c
①当△=0时
即△=4-12c=0
c=⅓
交点:x=-⅓在(-1,1)范围内
故c=1/3
②当△＞0且左侧交点在(-1,1)范围内时
即c＜⅓且f(-1)＞0,f(1)＜0
f(-1)=3-2+c=1+c＞0,即c＞-1
f(1)=3+2+c=5+c＜0,即c＜-5
∴c无解
③当△＞0且右侧交点在(-1,1)范围内时
即c＜⅓且f(-1)＜0,f(1)＞0
f(-1)=3-2+c=1+c＜0,即c＜-1

f(1)=3+2+c=5+c＞0,即c＞-5

∴-5＜x＜-1
④当c=-5时,3x²+2x-5=0的根为-5/3,1,∴c=-5不符合要求
⑤当c=-1时,3x²+2x-1=0的根为-1,1/3,∴c=-1符合要求

综上c=⅓或-5＜x≤-1

(2)
当x1=0时，y1=c>0
f(1)=3a+2b+c>0
3a+2b+c=a+b+c+2a+b=2a+b＞0

∴a>-(a+b)=c>0,即抛物线开口向上

b=-(a+c)<0

对称轴:x=-b/3a
-b＞0,3a＞2a＞-b
∴对称轴:0＜x=-b/3a＜1

△=4b²-12ac=4(b²-3ac)=4[(a+c)²-3ac]=4(a²-ac+c²)=4[(a+c/2)²+3c²/4]>0
∴抛物线与x轴必有交点

同时f(0)＞0,f(1)＜0
∴当0＜x＜-b/3a时,抛物线单调下降,抛物线与x轴必有公共点.
∴当0＜x＜1时,抛物线与x轴必有公共点.

Answer 2

解：1.当a=b=1时，抛物线为：y=3x²+2x+c
当x=1时 y=5+c
当x=-1时 y=1+c
2.y=3(x+1/3)²+c-1/3
∴抛物线的对称轴为 x=-1/3
3.△=2²-4×3×c=4-12c>0 ∴c<1/3
∵对称轴为x=-1/3 且当-1<x<1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点
∴x=1与x=-1对应y的值一正一负
∴5+c>0 1+c<0 ① 或 5+c<0 1+c>0 ②
由①得-5<c<-1 ②无解
∴c的取值为：-5<c<-1
(2)当x1=0时，y1=c>0
f(1)=3a+2b+c>0
由于a+b+c=0,所以2a+b>0,移项得到a>-(a+b)=c>0,即抛物线开口向上
a+b+c=0 => b=-(a+c)<0
△=4b²-12ac=4(b²-3ac)=4[(a+c)²-3ac]=4(a²-ac+c²)=4[(a+c/2)²+3c²/4]>0
∴抛物线与x轴必定有交点
由2a+b>0还可以推出-b<2a,所以抛物线的对称轴x=-b/3a<2/3
而-b>0,3a>0,所以-b/3a>0,即抛物线的对称轴在区间(0,2/3)内，当然在区间（0，1）内。而f(0)>0和f(1)>0说明抛物线在区间(0,1)内与x轴有两个交点。