Question

微分证明题，哪位大神帮忙解答一下？

第二张图连第一张图，为同一道题。

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Answer 1

证明：

设g(x)为在区间[a,b]上恒大于零的连续函数，且m和M为f(x)在区间[a,b]上的最小值和最大值。则m*g(x)<=f(x)*g(x)<=M*g(x)
所以：∫(a->b)m*g(x)<=∫(a->b)f(x)*g(x)<=∫(a->b)M*g(x)
即：m∫(a->b) g(x)<=∫(a->b)f(x)*g(x)<=M∫(a->b) g(x)
由于g(x)在区间[a,b]上恒大于零，所以∫(a->b) g(x)>0
因此：m<=[∫(a->b)f(x)*g(x)]/[∫(a->b) g(x)]<=M
由介值定理可知，在区间[a,b]上必有ξ，满足f(ξ)=[∫(a->b)f(x)*g(x)]/[∫(a->b) g(x)]
即：∫(a->b)f(x)*g(x)=f(ξ)*∫(a->b) g(x)
同理可证g(x)为在区间[a,b]上恒小于零时结论也成立（mM换个位置，两边同除以-∫(a->b) g(x)）