Question

极限唯一性的证明是什么？

Answer 1

证明：

假设存在a，b两个数都是函数f(x)当x→x。的极限，且a<b，任意给定ε>0。

总存在一个δ1>0，当0<丨x-x。丨<δ1时，使得丨f（x）-a丨<ε成立。

上面的不等式可以等价变换为a-ε<f（x）<a+ε和b-ε<f（x）<b+ε。

b-ε≤a+ε，移项得：（b-a）/2≤ε，因为（b-a）/2是一个确定大小的正数，所以这个结论与极限的定义：ε可以任意小矛盾，所以假设不成立，因此不存在a，b两个数都是f（x）的极限，除非a=b矛盾才不会出现。

N的相应性　

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。