Question

{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13 1.求数列{an}，{bn}

{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13
1.求数列{an}，{bn}的通项公式
2.求数列{an/bn}的前n项和Sn

Answer 1

（1）由{an}是等差数列，{bn}是等比数列
设an=a1+（n-1）d=（n-1）d+1，
bn=b1·q^(n-1)=q^(n-1)，其中n∈N+，q>0
a3+b5=2d+1+q^4=21------------------①
a5+b3=4d+1+q^2=13------------------②
联立①②解得d=2，q=2
即an=2n-1，bn=2^(n-1)
（2）an/bn=(2n-1)/2^(n-1)
1 3 5 2n-3 2n-1
Sn=-------+---------+----------+……+------------+---------- ---------------------③
2^0 2^1 2^2 2^(n-2) 2^(n-1)

1 3 5 2n-3 2n-1
1/2Sn= ---------+---------+----------+……+-------------+---------- -------------④
2^1 2^2 2^3 2^(n-1) 2^n
③－④得
1/2Sn=1+1+1/2+1/2^2+……+1/2^(n-2)-(2n-1)/2^n
结合等比数列求和公式，整理得
Sn=6-（2n+3）/2^(n-1)
---------------------------------------------------------------------------
O(∩_∩)O~

Answer 2

⒈ a3＋b5＝a1＋2d＋q∧4 ①
a5＋b3＝a1＋4d＋q² ②
由①，②可得q＝±2，由题意可得q＝2，
d＝2，
an＝2n－1，bn=2∧（n－1）

（2）an/bn=(2n-1)/2^(n-1）
Sn=1／2º＋3／2¹＋5／2²＋······＋(2n-1)/2^(n-1） ③
1／2sn＝1／2＋3／2²＋5／2³＋......＋(2n-1)/2^n ④
由③－④
1/2Sn=1+1+1/2+1/2^2+……+1/2^(n-2)-(2n-1)/2^n
1／2sn＝1+(2n-1)/2^n＋1+1/2+1/2^2+……+1/2^(n-2)

由于后边是一个等比数列，故利用等比数列求和公式求和。
解之得
Sn=6-（2n+3）/2^(n-1)