Question

一道数学立体几何题(比较难),高手进

在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=根号3，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形。在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由 如果不补成一个长方体的话可以怎么建立空间坐标系？设向量AE=m向量AC

Answer 1

图有点怪怪的..
这题可以用解析方法做吗?

用勾股定理可马上可算出各边的长度
AB = AC = BC = √2
BD = DC = 1
AD = √3

观察三角形BCD发现它的边是1,1,√2, 是等腰直角三角形.
所以我们不妨假设:
D = (0,0,0)
C = (0,1,0)
B = (1,0,0)
A = (x,y,z)

由AB,AC,AD距离公式可解得 A = (1,1,1)
设 AC 上一点 E = (k,1,k), k 取值 [0,1]
设 F是E在面BCD上的投影, 则 F = (k,1,0)

要 ED与面BCD成30°角
即 角EDF = 30°角
即 EF/DE = 1/2
k / √(2k² + 1) = 1/2
解得 k = √2 / 2

所以E = (√2 / 2,1,√2 / 2)
取 CE = 1 即可

Answer 2

存在。。。。。