Question

急！求数列1/(1*3),1/(3*5),1/(5*7),……1/(2n-1)(2n+1),……的前n项和

Answer 1

1/(1*3),1/(3*5),1/(5*7),……1/(2n-1)(2n+1)

=1/2（1-1/3）+1/2(1/3-1/5)+1/2(1/5-1/7)+........+1/2(1/(2n-1)-1/(2n+1))
=1/2(1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+.......+1/(2n-1)-1/(2n+1))
=1/2(1-1/(2n+1)
=n/(2n+1)

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追问

这一步“+1/2(1/(2n-1)-1/(2n+1))”怎么得出来的？我这一步看不懂，麻烦说的详细点，谢谢！

追答

这个解法叫裂项求和
由于1/(2n-1)-1/(2n+1)=2/(2n-1)(2n+1)
所以我们在前面还要乘上1/2
就是每一项都可以看成两个分数相乘，然后等于这两个分数相减的差值

望采纳

Answer 2

1/(2n-1)(2n+1)=[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2
这是根据分式分解唯一性得到的。
即：1/(2n-1)(2n+1)必然可以写成分母是(2n-1)和(2n+1)的两个分式的差，
可以设为A/(2n-1)-B/(2n+1)，两边对应系数相等，可以求得A=B=1/2。
∴得到1/(2n-1)(2n+1)=[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2

Answer 3

an=1/[(2n-1)(2n+1)=[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2
Sn=[(1/1-1/3)+(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+....+(1/(2n-1)-1/(2n+1))]/2
=[1-1/(2n+1)]/2
=n/(2n+1)

追问

这一步“[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2”是怎么得出来的？