Question

判断级数收敛或发散，求详解。

如图所示，求详解。

Answer 1

1、错位相减，易得极限为 1 ，收敛。
2、n 为奇数时，∑un=1；n 为偶数时，∑un = 1-1/(n+1)=n/(n+1)，
明显级数收敛于 1 。
3、n 为奇数时，∑un=2；n 为偶数时，∑un = 2-(n+2)/(n+1) = n/(n+1)，
奇数项、偶数项极限分别为 2、1，因此级数发散 。
4、0<un=(n+1)/n - (n+2)/(n+1)=1/[n(n+1)] < 1/n²，
而 ∑(1/n²) 收敛，因此原级数 ∑un 收敛 。

Answer 2

(1)
(1-1/2）+(1/2-1/3)+...+[1/n-1/(n+1)]+...
=lim(n->无穷) [1- 1/(n-1)]
=1
收敛
(2)
1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)+...
=lim(n->无穷) [1- 1/(n-1)]
=1
收敛
(3)
2-3/2+3/2-4/3+....+(n+1)/n- (n+2)/(n+1) +....
=lim(n->无穷) [2 - (n+2)/(n+1)]
=2-1
=1
收敛
(4)
(2-3/2)+(3/2-4/3)+...+[(n+1)/n- (n+2)/(n+1)]+...
=lim(n->无穷) [2 - (n+2)/(n+1)]
=2-1
=1
收敛