Question

设f(x)=e^x/1+ax^2,其中a为正实数(1)当a=4/3时,求f(x)的极值点 2,若fx为R上的单调函数，求a的取值范围

设f(x)=e^x/1+ax^2,其中a为正实数(1)当a=4/3时,求f(x)的极值点
2,若fx为R上的单调函数，求a的取值范围

Answer 1

【考点】利用导数研究函数的极值；函数的单调性与导数的关系．

【专题】计算题；导数的综合应用．

【分析】（1）求导数，确定函数的单调性，即可求得函数的极值点；

              （2）若f（x）为R上的单调函数，则f′（x）在R上不变号，由此可得结论．

【解答】

【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查解不等式，属于中档题．

Answer 2

真乱！！！
经试解后觉得应该是分母没加括号，即函数应该是f(x) =e^x/(1+ax²)吧！
这样，f'(x)=(1+ax²-2ax)e^x/(1+ax²)²。
(1)当a=4/3时，f'(x)=(1/3)(2x-1)(2x-3)e^x/(1+4x²/3)²，
由f'(x)=0，得x=1/2，或x=3/2，
易知x=1/2为极大值点，x=3/2极小值点。
(2)若f(x)为R上的单调函数，
则在R上，恒有f'(x)=(1+ax²-2ax)e^x/(1+ax²)²≥0或恒有f'(x)=(1+ax²-2ax)e^x/(1+ax²)²≤0，
即在R上，恒有1+ax²-2ax≥0或恒有1+ax²-2ax≤0，
∵a>0，∴必恒有1+ax²-2ax≥0，故△ =4a²-4a≤0，
解得a的取值范围是(0，1]。