arcsinx的平方的不定积分是多少？
xarcsinx+√(1-x^2)+C。
arcsinx的不定积分=xarcsinx+√(1-x^2)+C，arcsinx的定积分=xarcsinx+√(1-x^2)。定积分与不定积分的运算法则相同，并且积分公式，计算方法也相同。
求不定积分(arcsinx)的平方 - ...... ∫(arcsinx)² dx= x(arcsinx)² - ∫x d(arcsinx)²,分部积分法第一次第一步= ..- ∫x * 2(arcsinx) * 1/√(1-x²) dx,分部积分法第一次第二步= ..- 2∫(x*arcsinx)/√(1-x²) dx= ..- 2∫arcsinx d[-√(1-x²)]。
分部积分法第二次第一步= ..+2√(1-x²)*arcsinx - 2∫√(1-x²) d(arcsinx),分部积分法第二次第二步= ..-2∫√(1-x²)/√(1-x²) dx= ..-2∫ dx= ..-2x + C= x(arcsinx)² + 2√(1-x²)*arcsinx - 2x + C。
arcsinx的不定积分求法，利用分部积分法：
即∫udv=uv-∫vdu。
∫arcsinxdx=x·arcsinx-∫xd（arcsinx）。
=x·arcsinx-∫x/(1-x^2)^(1/2)dx。
=x·arcsinx+(1/2)∫1/(1-x^2)^(1/2)d((1-x^2))。
=x·arcsinx+(1-x^2)^(1/2)+C。
=xarcsinx+√(1-x^2)+C。
根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。
这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。
连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
