Question

z=x^2+y^2是什么曲面?

Answer 1

z=x²+y² 是一个圆形抛物面，位于 Z 轴上方，平行于 XOY 平面的截面。

曲线是圆 x²+y²=h（h>0）,平行于 YOZ 平面的截面。

曲线是抛物线 z=y²+a,平行于 XOZ 平面的截面。

曲线是抛物线 z=x²+b。

曲面的性质：

微分几何研究的对象，直观上，曲面是空间具有两个自由度的点的轨迹。曲面可用方程Z＝f（x，y）或F（x，y，z）＝0来表示。

也可用参数方程x＝j（u，v），y＝ψ（u，v），z＝c（u，v）表示。在最简单的曲面中，除平面外，有旋转面和二次曲面。曲面还有直纹面、可展曲面、极小曲面、多面曲面、单侧曲面等。

Answer 2

① 在三维空间内，曲面是指每个点都与一个平面或曲线关联的对象。曲面的种类很多，其中一个基本的曲面是圆锥曲面。圆锥曲面由两个相交且共同顶点的平面所围成，这个顶点称为顶点。圆锥曲面包括圆锥、圆柱、椭球、双曲面等。

而对于一个方程Z=x^2+y^2，它定义了一个二次曲面，具体来说是一个旋转抛物面（paraboloid of revolution）。旋转抛物面是指在一个二维平面上，沿着一个轴旋转的抛物线所形成的曲面，它可以通过旋转 y=x^2 或者 x=y^2 两个平面的曲线来得到。它可以看作是一个沿着某一轴延伸的对称性抛物面。

② 旋转抛物面可以用来模拟话筒、天线等的形状，在视觉效果的处理中也经常被使用。

③ 给定方程Z=x^2+y^2，它在三维空间里的图像是一个旋转抛物面。我们可以使用Matlab或者其他三维绘图软件来绘制它的曲面图像。下面是Matlab代码和绘图结果：

```
% 设置绘图范围
x = linspace(-5, 5, 50);
y = linspace(-5, 5, 50);
[X,Y] = meshgrid(x, y);

% 求出Z
Z = X.^2 + Y.^2;

% 绘制旋转抛物面曲面图
surf(X,Y,Z);
title('旋转抛物面');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');
```

绘图结果：

可① 在三维空间内，曲面是指每个点都与一个平面或曲线关联的对象。曲面的种类很多，其中一个基本的曲面是圆锥曲面。圆锥曲面由两个相交且共同顶点的平面所围成，这个顶点称为顶点。圆锥曲面包括圆锥、圆柱、椭球、双曲面等。

而对于一个方程Z=x^2+y^2，它定义了一个二次曲面，具体来说是一个旋转抛物面（paraboloid of revolution）。旋转抛物面是指在一个二维平面上，沿着一个轴旋转的抛物线所形成的曲面，它可以通过旋转 y=x^2 或者 x=y^2 两个平面的曲线来得到。它可以看作是一个沿着某一轴延伸的对称性抛物面。

② 旋转抛物面可以用来模拟话筒、天线等的形状，在视觉效果的处理中也经常被使用。

③ 给定方程Z=x^2+y^2，它在三维空间里的图像是一个旋转抛物面。我们可以使用Matlab或者其他三维绘图软件来绘制它的曲面图像。下面是Matlab代码和绘图结果：

绘图结果：

可以看到，曲面图像呈现出一个抛物面的形状，其沿 z 轴方向上的高度由 x 和 y 两个坐标决定，x 和 y 坐标的平方和为半径平方。的平方和为半径平方。

Answer 3

方程 z = x^2 + y^2 描述的是一个二次曲面，叫做旋转抛物面（或圆锥面）。

                                   

这个方程表示了在三维笛卡尔坐标系中，z 坐标值等于 x 和 y 坐标平方和的情况。也可以将 z = x^2 + y^2 理解为以 z 轴为旋转轴，由 (x, y) 平面上的点 (x^2 + y^2) 绕 z 轴旋转而得到的曲面。

在坐标系中，z = x^2 + y^2 描述的曲面像一个向上开口的钟形。它是关于 z 轴对称的，并且 x 和 y 坐标均为二次项，因此呈现出一个平滑的曲面形状。

这个曲面也可以看作是二维平面上所有以原点 O(0, 0) 为圆心的圆在三维空间中旋转所形成的轨迹。每个点 (x, y, z) 在曲面上对应的 z 坐标值是由该点在 (x, y) 平面上到原点的距离平方给出。

总结起来，方程 z = x^2 + y^2 描述的是一个二次曲面，即旋转抛物面或圆锥面，呈现出钟形的形状。

Answer 4

这是一个二次曲面，叫做圆锥曲面。它是由平面上所有满足方程z=x^2+y^2的点构成的曲面。在三维空间中，这个曲面看起来像一个向上开口的圆锥形。