Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D,E分别是AA1和BC1的中点 求证：（1）DE∥平面ABC

（2）求三棱锥E-BCD的体积

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Answer 1

解：（1）证明：取BC中点G，连接AG，EG，
因为E是B1C的中点，所以EG∥BB1，
且EG=1/2BB1．
由直棱柱知，AA1∥BB1，AA1=BB1，而D是AA1的中点，
所以EG∥AD，EG=AD
所以四边形EGAD是平行四边形，
所以ED∥AG，又DE⊄平面ABC，AG⊂平面ABC
所以DE∥平面ABC．
（2）解：因为AD∥BB1，所以AD∥平面BCE，
所以VE-BCD=VD-BCE=VA-BCE=VE-ABC，
由（1）知，DE∥平面ABC，
所以VE-ABC=VD-ABC=1/3AD•1/2BC•AG=1/6×3×6×4=12．

Answer 2

1）取BB1中点G，连结EG,DG
在△BB1C中，EG是中位线，EG//BC，故EG//平面ABC
同理DG//平面ABC
又DG交EG于G，故平面EGD//平面ABC
故ED//平面ABC
2)计算三棱锥E-BCD的体积用EBC作底面比较方便
首先D到EBC的距离和A到EBC的距离相同，三角形ABC是等腰三角形，底边长6，腰长5
且三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以三角形ABC中过A在BC上的高h垂直于平面BCC1B1即平面BCE
易得h=4，即所求三棱锥的高为4
再求三角形BEC的面积
因为BB1=BC=6，四边形BCC1B1是正方形，三角形B1BC是等腰rt三角形，面积是6^2/2=18
E是底边B1C中点，三角形BEC面积是B1BC的一半是9
最后得所求三棱锥体积为9*4/3=12

Answer 3

第一问：
取BC中点F，连接AF。
因为EF∥BB1且EF=1/2 BB1，AD∥BB1且EF=1/2 BB1，
所以EF平行且等于AD
所以四边形ADEF为平行四边形，则有ED平行且等于AF
又因为AF∈平面ABC
所以DE||平面ABC
第二问：
因为BB1⊥平面ABC，所以BB1⊥AF，
又因为AF⊥BC，所以AF⊥平面BB1C，所以DE⊥平面BB1C，则有DE⊥BE,DE⊥EC
又因为BE⊥EC,所以BE是DEC面上的高
DE=AF=√(5²-3²)=4 BE= EC=1/2 B1C=3√2/2
则体积=（1/2）*4*（3√2/2）*（3√2/2）*（1/3）=3