Question

请写出详细解题思路步骤 高1数学

.已知函数f(x)=x+1/x ,x>0

①证明函数f(x)在（0，1]上单调递减，并说出其在（0，+∞）上的单调性。

②记f（x)在区间[m , m+1]上最大值为M，最小值为N。设g(m)=M-N (m>0).

求g(m)的最小值
问题补充：请写出详细解题思路步骤
下面求g(m)的最小值。
当 0<m<=(√5-1)/2时，g(m)= m-2+1/m 在定义域上单调递减，则在m=(√5-1)/2有最小值，为：√5-2
当 (√5-1)/2 <= m < 1时，g(m)= m-1+1/(m+1)= m+1+1/(m+1)-1 在定义域上单调递增，当m=(√5-1)/2有最小值，为：√5-2
当m >1 时，g(m)= 1-1/m+1/(m+1) =1-1/(m(m+1)) > 1/2>√5-2
则g(m)min=g((√5-1)/2)= √5-2 问1. √5-2怎么求来的？ ？？ 2 。g(m)= m-1+1/(m+1)= m+1+1/(m+1)-1 等吗？？？

Answer 1

①
设 0<x1<x2<=1
f(x2)-f(x1)=x2+1/x2-(x1+1/x1)=x2-x1+1/x2-1/x1=x2-x1+(x1-x2)1/(x1x2)=(x2-x1)(1-1/(x1x2))
显然x2-x1>0
∵0<x1<x2<=1
∴x1x2<1 则：1-1/(x1x2) <0
则：f(x2)-f(x1) < 0 对于0<x1<x2<=1成立
所以函数f(x)在（0，1]上单调递减
函数f(x)在（0，+∞）的单调性为：（0，1]上单调递减（1，+∞）上单调递增
②
显然我们需要讨论m的范围(m>0 → m+1>1)
1、m >1 时，f(x)在【m，m+1】上单调增
f(x)max=f(m+1)=m+1+1/(m+1)
f(x)min=f(m)=m+1/m
此时：g(m)= m+1+1/(m+1)- (m+1/m)=1-1/m+1/(m+1) m >1

2、m< 1 时，f(x)在【m，1】上单调减 （1，m+1）上单调增
此时我们只知道f(x)min=f(1)=2
而f(x)max需要比较两个端点m和m+1的函数值的大小
f(m+1)=m+1+1/(m+1)
f(m)=m+1/m
f(m+1)- f(m)= 1+1/(m+1)-1/m=1-1/((m+1)m)
令f(m+1)- f(m) > 0
则：1-1/((m+1)m) > 0 →1/((m+1)m) < 1 →(m+1)m > 1
解不等式：(m+1)m > 1得到：
m < -(1+√5)/2 或者m > (√5-1)/2
又m<1
则当 (√5-1)/2 <= m < 1时，f(m+1)>=f(m),此时g(m)= f(m+1)- f(1)=m-1+1/(m+1)
当 0<m<=(√5-1)/2时，f(m+1) <= f(m) ,此时g(m)= f(m)- f(1)=m-2+1/m

下面求g(m)的最小值。
当 0<m<=(√5-1)/2时，g(m)= m-2+1/m 在定义域上单调递减，则在m=(√5-1)/2有最小值，为：√5-2
当 (√5-1)/2 <= m < 1时，g(m)= m-1+1/(m+1)= m+1+1/(m+1)-1 在定义域上单调递增，当m=(√5-1)/2有最小值，为：√5-2
当m >1 时，g(m)= 1-1/m+1/(m+1) =1-1/(m(m+1)) > 1/2>√5-2

则g(m)min=g((√5-1)/2)= √5-2

追问

解不等式：(m+1)m > 1得到：
m (√5-1)/2 请问 √5怎么来的？

追答

解：(m+1)m > 1这个一元二次不等式

追问

已知f(x)等于 2x+a x≤2 a为常数

等于 2log2(x-1) ,x>2 a为常数

① 若函数f(x)在R上为单调函数，求a的范围.

②当a= -2时，若对任意实数x ,都存在实数m ,使得f(1/2sin2x+cosx+1)=f(m+log2m)成立，求m的最大值。

③当a=0 设方程f(x)=5-2x 的两个不同的解为 x1 ， x2 。 求x1+ x2的

Answer 2

证明：令 x1，x2属于（0,1]，且x1<x2
f(x1)-f(x2) …….>0
所以， 单调递减。

f(x)max=f(m)=m+1/m=M f(x)min=f(m+1)=m+1+1/(m+1)=N
g(m)=M-N=1/m-1/(m+1)-1