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高中不等式知识点总结

Answer 1

高中不等式知识点总结

　　在平日的学习中，是不是听到知识点，就立刻清醒了？知识点是指某个模块知识的重点、核心内容、关键部分。为了帮助大家更高效的学习，下面是我收集整理的高中不等式知识点总结，希望能够帮助到大家。

　　一、 知识点

　　1.不等式性质

　　比较大小方法：

　　(1)作差比较法

　　(2)作商比较法

　　不等式的基本性质

　　①对称性：a > bb > a

　　②传递性: a > b, b > ca > c

　　③可加性: a > b a + c > b + c

　　④可积性: a > b, c > 0ac > bc;

　　a > b, c < 0ac < bc;

　　⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d

　　⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd

　　⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn (n∈N)

　　⑧开方法则：a > b > 0,

　　2.算术平均数与几何平均数定理：

　　(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)

　　(2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：如果为实数，则

　　重要结论

　　1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;

　　(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。

　　3.证明不等式的常用方法：

　　比较法：比较法是最基本、最重要的方法。当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。

　　综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。

　　分析法：不等式两边的联系不够清楚，通过寻找不等式成立的充分条件，逐步将欲证的不等式转化，直到寻找到易证或已知成立的结论。

　　4.不等式的解法

　　(1) 不等式的有关概念

　　同解不等式：两个不等式如果解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。

　　同解变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解变形。

　　提问：请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形

　　去分母、去括号、移项、合并同类项

　　(2) 不等式ax > b的解法

　　①当a>0时不等式的解集是{x|x>b/a};

　　②当a<0时不等式的解集是{x|x

　　③当a=0时,b<0,其解集是R;b0, 其解集是ф。

　　(3) 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系

　　(4)绝对值不等式

　　|x|0)的解集是{x|-a

　　o o

　　-a 　 0 　 a

　　|x|>a(a>0)的解集是{x|x<-a或x>a｝，几何表示为：

　　o o

　　-a 0 a

　　小结：解绝对值不等式的关键是-去绝对值符号(整体思想，分类讨论)转化为不含绝对值的不等式，通常有下列三种解题思路：

　　(1)定义法：利用绝对值的意义，通过分类讨论的方法去掉绝对值符号;

　　(2)公式法：| f(x) | > a f(x) > a或f(x) < -a;| f(x) | < a -a

　　(3)平方法：| f(x) | > a(a>0) f2(x) > a2;| f(x) | < a(a>0) f2(x) < a2;(4)几何意义。

　　(5)分式不等式的解法

　　(6)一元高次不等式的解法

　　数轴标根法

　　把不等式化为f(x)>0(或<0)的形式(首项系数化为正)，然后分解因式，再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来，从右边入手画线，最后根据曲线写出不等式的解。

　　(7)含有绝对值的不等式

　　定理：|a| - |b|≤|a+b|≤|a| + |b|

　　|a| - |b|≤|a+b|

　　中当b=0或|a|>|b|且ab<0等号成立

　　|a+b|≤|a| + |b|

　　中当且仅当ab≥0等号成立

　　推论1：|a1 + a2 + a3| ≤|a1 | +| a2 | + | a3|

　　推广：|a1 + a2 +...+ an| ≤|a1 | +| a2 | +...+ | an|

　　推论2：|a| - |b|≤|a-b|≤|a| + |b|

　　二、常见题型专题总结：

　　专题一：利用不等式性质，判断其它不等式是否成立

　　1、a、b∈R,则下列命题中的真命题是(　C )

　　A、若a>b，则|a|>|b| B、若a>b，则1/a<1/b

　　C、若a>b，则a3>b3　　　　　　　D、若a>b，则a/b>1

　　2、已知a<0.-1

　　A、a>ab>ab2 B、ab2>ab>a

　　C、ab>a>ab2 D、ab>ab2>a

　　3、当0

　　A、(1a)1/b >(1a)b B、(1+a)a>(1+b)b

　　C、(1a)b >(1a)b/2 D、(1a)a>(1b)b

　　4、若loga3>logb3>0，则a、b的关系是( B )

　　A、0a>1

　　C、0

　　5、若a>b>0，则下列不等式①1/a<1 a2="">b2;③lg(a2+1)>lg(b2+1);④2a>2b中成立的是(　A )

　　A、①②③④　　B、①②③　　　C、①②　　　　D、③④

　　(二)比较大小

　　1、若0<α<β<π/4,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b，则( A　)

　　A、ab　　　　　C、ab<1 ab="">2

　　2、a、b为不等的正数，n∈N，则(anb+abn)-(an-1+bn-1)的符号是( C　)

　　A、恒正　　　　　　　　　　　　B、恒负

　　C、与a、b的大小有关　　　　　 D、与n是奇数或偶数有关

　　3、设1lg2x>lg(lgx)

　　4、设a>0,a≠1,比较logat/2与loga(t+1)/2的大小。

　　分析：要比较大小的式子较多，为避免盲目性，可先取特殊值估测各式大小关系，然后用比较法(作差)即可。

　　(三)利用不等式性质判断P是Q的充分条件和必要条件

　　1、设x、y∈R,判断下列各题中，命题甲与命题乙的充分必要关系

　　⑴命题甲：x>0且y>0，　　命题乙：x+y>0且xy>0 充要条件

　　⑵命题甲：x>2且y>2，　　命题乙：x+y>4且xy>4　　　　　充分不必要条件

　　2、已知四个命题，其中a、b∈R

　　①a2

　　3、"a+b>2c"的一个充分条件是( C　)

　　A、a>c或b>c B、a>c或bc且b>c　　D、a>c且b

　　(四)范围问题

　　1、设60

　　2、若二次函数y=f(x)的图象过原点，且1≤f(1)≤2,3≤f(1)≤3，求f(2)的范围。

　　(五)均值不等式变形问题

　　1、当a、b∈R时,下列不等式不正确的是( D　)

　　A、a2+b2≥2|a|?|b| B、(a/2+b/2)2≥ab

　　C、(a/2+b/2)2≤a2/2+b2/2 D、log1/2(a2+b2)≥log1/2(2|a|?|b|)

　　2、x、y∈(0,+∞)，则下列不等式中等号不成立的是( A　)

　　C、(x+y)(1/x+1/y)≥4 D、(lgx/2+lgy/2)2≤lg2x/2+lg2y/2

　　3、已知a>0,b>0,a+b=1，则(1/a21)(1/b21)的最小值为( D　)

　　A、6　　　　　　　B、7　　　　　　　C、8　　　　　　　D、9

　　4、已知a>0,b>0,c>0，a+b+c=1，求证：1/a+1/b+1/c≥9

　　5、已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证：

　　(六)求函数最值

　　1、若x>4,函数

　　5、大、-6

　　2、设x、y∈R, x+y=5，则3x+3y的最小值是(　)D

　　A、10　　　　　　B、　　　　　　C、　　　　　　D、

　　3、下列各式中最小值等于2的是(　)D

　　A、x/y+y/x B、 C、tanα+cotα D、2x+2-x

　　4、已知实数a、b、c、d满足a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2的最小值。

　　5、已知x>0,y>0,2x+y=1,求1/x+1/y的最小值。

　　(七)实际问题

　　1、98(高考)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2cm的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为am，高度为bm，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60m2，问当a、b各为多少米时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)。

　　解一：设流出的水中杂质的质量分数为y，

　　由题意y=k/ab，其中k为比例系数(k>0)

　　据题设2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)

　　由a>0,b>0可得0

　　令t=2+a，则a=t-2从而当且仅当t=64/t，即t=8,a=6时等号成立。∴y=k/ab≥k/18

　　当a=6时,b=3，

　　综上所述，当a=6m,b=3m时，经沉淀后流出的.水中该杂质的质量分数最小。

　　解二：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y=k/ab，其中k为比例系数(k>0)

　　要求y的最小值，即要求ab的最大值。

　　据题设2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)，即a+2b+ab=30

　　即a=6,b=3时，ab有最大值，从而y取最小值。

　　综上所述，当a=6m,b=3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

　　2、某工厂有旧墙一面长14米,现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126　　米2的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为a元;②修1米旧墙的费用为a/4元;③拆去1米旧墙用所得材料建1米新墙的费用为a/2元.经过讨论有两种方案：⑴利用旧墙的一段x(x<14)米为矩形厂房的一面边长;⑵矩形厂房的一面长为x(x≥14).问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省?⑴⑵两种方案哪种方案最好?

　　解：设总费用为y元，利用旧墙的一面矩形边长为x米，则另一边长为126/x米。

　　⑴若利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形的一面边长，则修旧墙的费用为x?a/4元，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14-x)?a/2元，其余的建新墙的费用为(2x+ 2?126/x-14)?a元，故总费用　当且仅当x=12时等号成立，∴x=12时ymin=7a(6-1)=35a。

　　⑵若利用旧墙的一段x米(x≥14)为矩形的一面边长，则修旧墙的费用为x?a/4元，建新墙的费用为(2x+ 2?126/x-14)?a元，故总费用

　　设f(x)=x+126/x, x2>x1≥14，则f(x2)-f(x1)= x2+126/x2-(x1+126/x1)

　　=(x2x1)(1126/x1x2)>0∴f(x)=x+126/x在[14，+∞)上递增，∴f(x)≥f(14)

　　∴x=14时ymin=7a/2+2a(14+126/14-7)=35.5a

　　综上所述，采用方案⑴，即利用旧墙12米为矩形的一面边长，建墙费用最省。

　　(八)比较法证明不等式

　　1、已知a、b、m、n∈R+,证明：am+n+bm+n≥ambn+anbm

　　变：已知a、b∈R+,证明：a3/b+b3/a≥a2+b2

　　2、已知a、b∈R+,f(x)=2x2+1,a+b=1,证明：对任意实数p、q恒有a?f(p)+b?f(q)≥f(ap+bq)

　　(九)综合法证明不等式

　　1、已知a、b、c为不全相等的正数，求证：

　　2、已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥1/3

　　3、已知a、b、c为不全相等的正数，且abc=1,求证：

　　4、已知a、b∈R+，a+b=1,求证：

　　(十)分析法证明不等式

　　1、已知a、b、c为不全相等的正数，求证：bc/a+ac/b+ab/c>a+b+c

　　2、已知函数f(x)=lg(1/x-1),x1、x2∈(0,1/2)，且x1≠x2，求证：

　　3、设实数x,y满足y+x2=0,0

　　(十一)反证法、放缩法、构造法、判别式法、换元法等证明不等式

　　1、设f(x)=x2+ax+b，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1/2。

　　2、若x2+y2≤1,求证|x2+2xy-y2|≤.

　　3、已知a>b>c,求证：

　　4、已知a、b、c∈R+，且a+b>c求证：.

　　5、已知a、b、c∈R，证明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0，并指出等号何时成立。

　　分析：整理成关于a的二次函数f(a)=a2+(c+3b)a+3b2+3bc+c2

　　∵Δ=(c+3b)2-4(3b2+3bc+c2)=-3(b2+2bc+c2)≤0

　　∴f(a)≥0

　　6、已知：x2-2xy + y2 + x + y + 1=0，求证：1/3≤y/x≤3

　　7、在直角三角形ABC中，角C为直角，n≥2且n∈N，求证：cn≥an + bn

　　(十二)解不等式

　　1、解不等式：

　　2、解关于x的不等式：

　　拓展

　　高中数学不等式的基本性质知识点

　　1.不等式的定义：a-bb, a-b=0a=b, a-b0a

　　① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。

　　②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。

　　作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。

　　2.不等式的性质：

　　① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。

　　不等式基本性质有：

　　(1) abb

　　(2) acac (传递性)

　　(3) ab+c (cR)

　　(4) c0时，abc

　　c0时，abac

　　运算性质有：

　　(1) ada+cb+d。

　　(2) a0, c0acbd。

　　(3) a0anbn (nN, n1)。

　　(4) a0isin;N, n1)。

　　应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。

　　② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：

　　(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。

　　(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。

　　(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。

　　不等式的基本性质知识点的相关内容就是这些，希望考生可以深入理解，全面把握。

　　高中数学关于集合不等式和简易逻辑知识点

　　重点知识归纳、总结

　　(1)集合的分类

　　(2)集合的运算

　　①子集，真子集，非空子集;

　　②A∩B={xx∈A且x∈B}

　　③A∪B={xx∈A或x∈B}

　　④ A={xx∈S且x A}，其中A S.

　　2、不等式的解法

　　(1)含有绝对值的不等式的解法

　　①x0) -a

　　x>a(a>0) x>a，或x<-a.

　　②f(x)

　　f(x)>g(x) f(x)>g(x)或f(x)<-g(x).

　　③f(x)<g(x) [f(x)]2<[g(x)]2 [f(x)+g(x)]·[f(x)-g(x)]<0.

　　④对于含有两个或两个以上的绝对值符号的绝对值不等式，利用“零点分段讨论法”去绝对值. 如解不等式：x+3-2x-1<3x+2.

　　3、简易逻辑知识

　　逻辑联结词 “或”、“且”、“非”是判断简单合题与复合命题的依据;真值表是由简单命题和真假判断复合命题真假的依据，理解好四种命题的关系，对判断命题的真假有很大帮助;掌握好反证法证明问题的步骤。

　　(2)复合命题的真值表

　　非p形式复合命题的真假可以用下表表示.

　　p 非p

　　真 假

　　假 真

　　p且q形式复合命题的真假可以用下表表示.

　　p或q形式复合命题的真假可以用下表表示.

　　(3)四种命题及其相互之间的关系

　　一个命题与它的逆否命题是等价的.

　　(4)充分、必要条件的判定

　　①若p q且q p，则p是q的充分不必要条件;

　　②若p q且q p，则p是q的必要不充分条件;

　　③若p q且q p，则p是q的充要条件;

　　④若p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件.

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