Question

无偏估计

Answer 1

实际生活中，如果我们需要了解一些统计数据的话，通常都是通过样本数据来估计总体数据的。例如，我们想知道全国高校学生的平均身高，这是很难去全部测量的，所以我们要随机取样，然后通过样本均值来估计总体均值（全国高校学生的平均身高）。

下面再举个例子来理解什么是 无偏估计（unbiased estimator） 。

假设A市有10000名小学六年级的学生，他们进行一次考试，成绩服从1～100的均匀分布。1号学生考1分，2号学生考1.01分......10000号学生考100分。那么，他们的平均分为(1+1.01+1.02+...+100)/10000=50.5，这个值是 总体期望 ，但实际上我们并不能知道这个值，只能通过样本估计。

我们可以给A市88所小学打电话，让学校老师随机选取一名学生成绩报上来，这样就可以得到88名学生的成绩，这88名学生就是我们第一个随机选取的 样本 ，我们算出平均值，记作 。

然后我们再重新给A市88所小学打电话，重新随机选取88名学生的成绩，这是第二个随机样本。算出样本2的平均值，记作 。

然后我们重复n遍，获得n个样本均值 ，你会发现样本均值的分布符合正态分布。我们就可以用 最大似然估计 或 距估计 求得这个正态分布的期望。

而样本平均数的期望（在这里就是均值），极其接近总体的期望。我们称之为无偏估计

一次抽样计算的平均值就说是总体均值的做法就是有偏估计（biased estimator）