Question

正交矩阵的向量的关系

Answer 1

正交矩阵的向量的关系：正交向量组A乘以的逆矩阵等于单位矩阵，如果正交向量组所含向量个数s＜n，则一定可以添加n-s个向量，使之成为n个向量构成的正交组。

因为是正交矩阵，所以Qt*Q=I，设B=Qt*A*Q，所以AQ=QB，设Q={a1，a2，a3}，B对角线上的三个数一次是c1，c2，c3，则{A*a1，A*a2，A*a3}={c1*a1，c2*a2，c3*a3}，所以A*a1=c1*a1，a1是特征向量，则a1/根号6也是特征向量。

定理

在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为+1，则称之为特殊正交矩阵。

1、方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组。

2、方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基。

3、A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量。

4、A的列向量组也是正交单位向量组。