Question

一道很简单很简单的大学物理题：

已知a=-kv;当t=0时，x=0,v=v。;a代表加速度，v代表速度，x代表位移,k是常量;求v(t)和x(t)。题目狠简单，第一次接触大学物理，没反应过来用什么思想做，勿喷，郁闷等解。。。。。。。。。。。

Answer 1

其实我觉得刚学大学物理时候不会做这样的题主要是因为不熟悉微积分，尤其是微分方程。像这道题需要用微积分的定义关系列一个方程（微分方程），然后去求解。
加速度a是速度v对于时间t的导数，所以a=-kv实际上是v'=-kv，仔细观察，里面速度v是个未知函数，k已知，像这样的关于未知函数、未知函数导数的方程叫微分方程，现在就是去解它。解它要利用反函数的求导关系（注意这种方法是解这一类微分方程的基础）。v'是v对t求导，右边并不是自变量t，而是函数v，我们想要是自变量t就好了，比如v'=-kt这谁都会解，只要积一下分就好了。现在是v，那怎么办？把v看成自变量，t看成函数（也就是反函数），v'=1/t'（就是dv/dt=1÷dt/dv这是高数上面说过的），所以dt/dv=-1/(kv)，v是自变量，这就好办了，直接积分，t=-lnv(t)/k+C（C是积分出来的常数），然后t=0时v=v这个条件就是用来定出常数C，这样的话0=-lnv/k+C，C=lnv/k。最后整理出来就是v(t)=v e^(-kt)（是个指数函数！）

然后算x就好办了，就是v对t积一下分。x(t)=-v/k e^(-kt)+C（又出来个积分常数C），再用t=0时x=0这个条件得到C=v/k，于是x(t)=v/k [1-e^(-kt)]。

总之这些基础物理题的思路就和过去中学的应用题差不多，大致就是根据物理知识列方程，列出来以后就用数学方法去解。只不过中学列的方程是不带微积分的，大学列的是带微积分的而已。还有应该注意了，题目给的t=0时x、v的表达，实际上是给你确定积分常数等于几用的，这些条件叫初值条件。对于一些和时间无关的微分方程，还会给和位置有关的类似条件，叫边界条件，大概也是起这个作用的。

Answer 2

【不一定对，仅供参考，请勿轻信】
求v(t)：
a=dv/dt=-kv,
分离变量，得
dv/v=-kdt,
两边积分得
lnv=-kt+C, C是常数，即得
v(t)=exp[-kt+C]=Dexp[-kt], D=exp[C]是常数，
把初始条件“t=0，v=v。”代入得v。=D，所以
v(t) = v。·exp[-kt],
x(t)=∫v(t)dt=∫v。·exp[-kt]dt=-(v。/k)exp[-kt]+C, C是常数,
把初始条件"t=0时，x=0"代入得C=v。/k, 即得
x(t)=-(v。/k)exp[-kt]+v。/k=（v。/k)(1-exp[-kt])

Answer 3

就是用积分做。高数中的积分。把a，v，x都看成关于t的函数，对时间t积分就好了。
a=dv/dt=-kv, dv/v=-kt 解出来v=v0*e(-kt)
v对时间积分得s=（v0/k)(1-e(-kt))
不懂问我

Answer 4

微分方程会解么？不会就放弃，会就看下面的：
a=dv/dt=-kv, dv/v=-kt 解出来v=v0*e(-kt)， v0是初速度，e表示指数，d表示微分
v对时间积分得s=（v0/k)(1-e(-kt))

Answer 5