Question

如图，直线l：y=kx+b经过点A（1，0），且与双曲线y=m/x（x＞0）交于点B（2，1），过点P（a，a-1）（a>1）

作x轴的平行线分别交曲线y=m/x(x>0)和y=-m/x(x<0)于M，N两点。
（1）求证：点P在直线y=kx+b上
（2）当a为何值时，△APN是等腰直角形？
（3）是否存在实数a，使得S△AMN=4S△APM？若存在，请求出所有满足条件的a的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）证明：y=kx+b经过点A（1，0），点B（2，1），有：
0=k+b
1=2k+b
得：k=1，b= -1，故：y=x-1，当x=a时，y=a-1.即点P（a，a-1）（a>1）在直线y=kx+b上。
（2）当a为何值时，△APN是等腰直角形？
y=m/x（x＞0）过点B（2，1），则：1=m/2，m=2，
故：y=a-1时，M（2/(a-1)，a-1），N（-2/(a-1)，a-1），
若AM⊥MN，则2/(a-1)=1，得a=3，a-1=2，
故M（1，2），N（-1，2），知MN=MA，△APN是等腰直角三角形。
若AM=AN，（3-a）²=（a+1）²，a=1，a-1=0无意义（2/(a-1)分母为0无意义）
所以：a=3时，△APN是等腰直角三角形。
（3）是否存在实数a，使得S△AMN=4S△APM？若存在，请求出所有满足条件的a的值；若不存在，请说明理由。
当MN=4PM时，S△AMN=4S△APM，2/(a-1) - [-2/(a-1)] =4（a - 2/(a-1)），a=（1±√13）/2
因a>1故a=（1-√13）/2舍去，所以：a=（1+√13）/2

祝你学习进步，更上一层楼！ (*^__^*)