设f(x)在x=0的某区域内二阶可导,且lim(x→0)(sin3x/x^3+f(x)/x^2)=0,
求f(0),f'(x),f"(x)及lim(x→0)(f(x)+3)/X^2。怎么求啊大神们~~~~...
求f(0),f'(x),f"(x)及lim(x→0)(f(x)+3)/X^2。怎么求啊大神们~~~~
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设f(x)在x=0的某区域内二阶可导,且x→0lim[sin3x/x³+f(x)/x²]=0,求f(0),f'(x),f"(x)及x→0lim[f(x)+3]/X²
解:∵x→0lim[sin3x/x³+f(x)/x²]=x→0lim[(sin3x+xf(x)]/x³=0,∴必可连续使用三次洛必达法则。
【分母趋于0而分式的值仍然存在,故该分式必为0/0型】
x→0lim[sin3x/x³+f(x)/x²]=x→0lim[(sin3x+xf(x)]/x³=x→0lim[3cos3x+f(x)+xf'(x)]/3x²
=x→0lim[-9sin3x+2f'(x)+xf''(x)]/6x=x→0lim[-27cos3x+3f''(x)+xf'''(x)]/6=0,
故3f''(x)=27cos3x;f''(x)=9cos3x;即有f'(x)=∫9cos3xdx=3∫cos3xd(3x)=3sin3x;
f(x)=∫3sin3xdx=∫sin3xd(3x)=-cos3x;故f(0)=-1;
x→0lim[f(x)+3]/x²=x→0lim(-cos3x+3)/x²=x→0lim(3sin3x)/2x=x→0lim(9cos3x)/2=9/2.
解:∵x→0lim[sin3x/x³+f(x)/x²]=x→0lim[(sin3x+xf(x)]/x³=0,∴必可连续使用三次洛必达法则。
【分母趋于0而分式的值仍然存在,故该分式必为0/0型】
x→0lim[sin3x/x³+f(x)/x²]=x→0lim[(sin3x+xf(x)]/x³=x→0lim[3cos3x+f(x)+xf'(x)]/3x²
=x→0lim[-9sin3x+2f'(x)+xf''(x)]/6x=x→0lim[-27cos3x+3f''(x)+xf'''(x)]/6=0,
故3f''(x)=27cos3x;f''(x)=9cos3x;即有f'(x)=∫9cos3xdx=3∫cos3xd(3x)=3sin3x;
f(x)=∫3sin3xdx=∫sin3xd(3x)=-cos3x;故f(0)=-1;
x→0lim[f(x)+3]/x²=x→0lim(-cos3x+3)/x²=x→0lim(3sin3x)/2x=x→0lim(9cos3x)/2=9/2.
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