Question

计算下列N阶行列式

Answer 1

原行列式第2至第n行都减去第1行,得
a1 + 1 a2 a3 a4 …… a an
-1 2 0 0 …… 0 0
-1 0 3 0 …… 0 0
-1 0 0 4 …… 0 0
…… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… ……
-1 0 0 0 …… n-1 0
-1 0 0 0 …… 0 n
第2列乘以(1/2)、第3列乘以(1/3)、……、第n列乘以(1/n),然后全部加到第1列,得
1+ Σ(a / i ) a2 a3 a4 …… a an
0 2 0 0 …… 0 0
0 0 3 0 …… 0 0
0 0 0 4 …… 0 0
…… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… ……
0 0 0 0 …… n-1 0
0 0 0 0 …… 0 n
∴原行列式 = n!*【1 + Σ(a / i ) 】
其中,Σ(a / i）表示从a1/1、a2/2、a3/3……一直累加到 an/n