Question

希望你在帮帮我哦！

1.设函数x^2+y^2≠0时，f(x,y)=xy/x^2+y^2 ；当x^2+y^2=0时，f(x,y)=0.
问f(x,y)在（0,0）处是否连续？计算计算f’x (0,0)和f’y (0,0)
2.将函数f(x)=sin(x/2)展开成x的幂级数。
3.将1/(5-x)展开成为x-2的幂级数。并指出收敛域。
4.求函数f(x,y)=e^(x-y)(x^2-2y^2)的极值。
5.z=xarctan(y/x),求a^2z/axay ,a^z/ax^2, a^2z/ay^2.
6.求方程xy+lny-lnx=0所确定的隐函数y=f(x)的导数dy/dx.

Answer 1

1.设函数x²+y²≠0时，f(x,y)=xy/(x²+y²) ；当x²+y²=0时，f(x,y)=0；问f(x,y)在（0,0）处是否连续？计算计算f’x (0,0)和f’y (0,0)；
解：当x²+y²=0时，必有x=0且y=0，此时f(x，y)=f(0，0)=0，即函数z=f(x，y)在原点有定义0；
当动点P沿x轴趋近原点时，x➔0limf(x，0)=0；当动点P沿y轴趋近原点时，y➔0limf(0，y)=0；
可见动点无论沿x轴还是沿y轴趋近原点该函数都有极限0，且此极限=f(0，0)=0；但若动点不沿坐标
轴，而沿任意方向趋近原点，情况就不一样了！
令y=kx，k∈R；则【x➔0，y=kx➔0】limf(x，y)=【x➔0，y=kx➔0】limf(x，kx)
=【x➔0，y=kx➔0】limkx²/(x²+k²x²)=k/(1+k²)，可见极限值与k有关；由此即可判断该函数f(x，y)在原点没有极限，极在原点不连续。f’x (0,0)=0，f’y (0,0)=0。
【在一元函数里，有导数必连续；但在多元函数里，所有偏导数都存在，但不一定连续，此即
为一例】
2.将函数f(x)=sin(x/2)展开成x的幂级数。
解：f(0)=0；f'(x)=(1/2)cos(x/2)=(1/2)sin(π/2+x)；f''(x)=-(1/2²)sin(x/2)=(1/2²)sin(π+x/2)；
f'''(x)=-(1/2³)cos(x/2)=(1/2³)sin(3π/2+x/2)；f''''(x)=(1/2⁴)sin(x/2)=(1/2⁴)sin(2π+x/2)；

。。。。。；f⁽ⁿ⁾(x)=(1/2ⁿ)sin(nπ/2+x/2)。
f'(0)=1/2；f''(0)=0；f'''(0)=-1/2³；f''''(0)=0；。。。。。；f⁽ⁿ⁾(0)=(1/2ⁿ)sin(nπ/2)；
故sin(x/2)=(1/2)x-[1/(2³▪3！)]x³+[1/(2⁵▪5!)]x⁵-[1/(2⁷▪7!)]x⁷+........
3.将1/(5-x)展开成为x-2的幂级数。并指出收敛域。【自己作吧!】
4.求函数f(x,y)=e^(x-y)(x²-2y²)的极值。
解：令∂f/∂x=e^(x-y)(x²-2y²)+2xe^(x-y)=[e^(x-y)](x²+2x-2y²)=0，得x²+2x-2y²=0.........(1)

再令∂f/∂y=-e^(x-y)(x²-2y²)-4ye^(x-y)=-[e^(x-y)](x²+4y-2y²)=0，得x²+4y-2y²=0..........(2)

(2)-(1)得4y-2x=0，故得x=2y，代入(1)式得4y²+4y-2y²=2y²+4y=2y(y+2)=0，故得y₁=0，y₂=-2；
相应地，x₁=0，x₂=-4；即有驻点P₁(0，0)；P₂(-4，-2)；
∂²f/∂x²=e^(x-y)(x²+2x-2y²)+e^(x-y)(2x+2)=e^(x-y)(x²+4x-2y²+2)
∂²f/∂x∂y=-e^(x-y)(x²+2x-2y²)-4ye^(x-y)=-e^(x-y)(x²+2x+4y-2y²)
∂²f/∂y²=e^(x-y)(x²+4y-2y²)-e^(x-y)(4-4y)=e^(x-y)(x²+8y-2y²-4)
对P₁(0，0)：A=∂²f/∂x²=2；B=∂²f/∂x∂y=0；C=∂²f/∂y²=-4；B²-AC=0＋16>0，

故P₁不是极值点；

对P₂(-4，-2)：A=(1/e²)(16-16-8+2)=-6/e²；B=-(1/e²)(16-8-8-8)=-8/e²；
C=(1/e²)(16-16-8-4)=-12/e²

B²-AC=(64-72)/e⁴=-8/e⁴<0，且A=-6/e²<0；故P₂(-4，-2)是极大点，极大值=f(-4，-2)=8/e²；
5.z=xarctan(y/x),求∂²z/∂x∂y ,∂²z/ax², ∂²z/∂y²
解：∂z/∂x=arctan(y/x)-xy/(x²+y²)；∂z/∂y=x²/(x²+y²)；

∂²z/∂x∂y=x/(x²+y²)-[x(x²+y²)-2xy²]/(x²+y²)²=2xy²/(x²+y²)²；
∂²z/∂x²=-y/(x²+y²)-[y(x²+y²)-2x²y]/(x²+y²)²=-2y³/(x²+y²)²；
∂²z/∂y²=-2x²y/(x²+y²)²。
6.求方程xy+lny-lnx=0所确定的隐函数y=f(x)的导数dy/dx.

解：设F(x，y)=xy+lny-lnx=0

则dy/dx=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y)=-[y-(1/x)]/[x+(1/y)]=y(1-xy)/[x(1+xy)]

Answer 2

图呢？！！！！！！！

Answer 3

虽然悬赏分很高，but我不会啊！555······

Answer 4

不会5555555555555