已知正数mn满足m+2n=㎡n³,求4÷m+1÷n的最小值
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方法一：用拉格朗日乘数法求解
令f(m,n)=4/m+1/n，F(m,n,r)=4/m+1/n+r(m^2*n^3-m-2n)
Fm'=-4/m^2+r(2mn^3-1)=0
Fn'=-1/n^2+r(3m^2*n^2-2)=0
Fr'=m^2*n^3-m-2n=0
三式联立，得唯一驻点：m=(√2+1)*2^(5/4)，n=2^(-3/4)，r=3/2-√2
因为当m->+∞时，n->0+，f(m,n)->+∞；当m->0+时，n->+∞，f(m,n)->+∞；
所以该驻点为f(m,n)的最小值点
f[(√2+1)*2^(5/4),2^(-3/4)]=4/[(√2+1)*2^(5/4)]+2^(3/4)
=(√2-1)*2^(3/4)+2^(3/4)
=2^(5/4)
即4/m+1/n的最小值为2^(5/4)
方法二：用判别式法求解
令t=4/m+1/n，因为m和n都是正数，所以t>0，则m=4n/(nt-1)
代入m+2n=m^2*n^3
4n/(nt-1)+2n=16n^5/(nt-1)^2
2/(nt-1)+1=8n^4/(nt-1)^2
8n^4-t^2*n^2+1=0
判别式△=t^4-32>=0
t>=2^(5/4)
所以4/m+1/n的最小值为2^(5/4)
令f(m,n)=4/m+1/n，F(m,n,r)=4/m+1/n+r(m^2*n^3-m-2n)
Fm'=-4/m^2+r(2mn^3-1)=0
Fn'=-1/n^2+r(3m^2*n^2-2)=0
Fr'=m^2*n^3-m-2n=0
三式联立，得唯一驻点：m=(√2+1)*2^(5/4)，n=2^(-3/4)，r=3/2-√2
因为当m->+∞时，n->0+，f(m,n)->+∞；当m->0+时，n->+∞，f(m,n)->+∞；
所以该驻点为f(m,n)的最小值点
f[(√2+1)*2^(5/4),2^(-3/4)]=4/[(√2+1)*2^(5/4)]+2^(3/4)
=(√2-1)*2^(3/4)+2^(3/4)
=2^(5/4)
即4/m+1/n的最小值为2^(5/4)
方法二：用判别式法求解
令t=4/m+1/n，因为m和n都是正数，所以t>0，则m=4n/(nt-1)
代入m+2n=m^2*n^3
4n/(nt-1)+2n=16n^5/(nt-1)^2
2/(nt-1)+1=8n^4/(nt-1)^2
8n^4-t^2*n^2+1=0
判别式△=t^4-32>=0
t>=2^(5/4)
所以4/m+1/n的最小值为2^(5/4)
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