Question

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长方形ABCD中, 2EC=3BE,DF=4FC,.求图中阴影部分的面积是长方形ABCD的几分之几？

Answer 1

为了求阴影部分面积，可以用三角形BCD的面积减去两个小三角形△BEH和△DFG的面积，

三角形BCD的面积为：BC×CD÷2；

三角形DFG的面积为：DF×h1÷2，而DF边上的高h1和AD之间有比例关系，因为三角形DFG的高h1比上三角形ABG的高为DF：AB=4：5，所以h1：AD=4：9，即：h1=4/9AD，所以三角形DFG的面积为：4/5CD×（4/9AD）÷2=16/45BC×CD÷2，因此△DFG的面积是△BCD的16/45；

同理，△BEH的面积是△BCD的4/35，因此阴影部分的面积为：

S△BCD - (16/45S△BCD) - (4/35)S△BCD=(1-16/45-4/35)S△BCD=167/315S△BCD

很显然，△BCD的面积是长方形ABCD面积的一半，所以阴影部分的面积是长方形面积的167/630

Answer 2

设DB与AF、AE分别交于点M、N
∵2EC=3BE,DF=4FC
∴可设DF=4a，FC=a，EC=3b，BF=2b
∵SΔDFM=1/2×4a×4/9×5b=40/9ab
SΔBEN=1/2×2b×2/7×5a=10/7ab
SΔCDB=25/2ab
∴S阴影= SΔCDB-SΔDFM- SΔBEN
=25/2ab-40/9ab-10/7ab
=5×167/126ab
(5×167/126ab)/25ab
=167/630
即阴影部分面积是长方形ABCD面积的167/630

Answer 3

假设AB=CD=5a，AD=BC=5b
则FC=a，DF=4a；BE=2b，CE=3b
设DF、AB交于G，则DF/AB=DG/BG=FG/AG=4a/5b
所以DG=(4a/5b)BG=(4a/5b)(BD-DG)，
所以DG=(4a/5b)BG/[1+(4a/5b)]=[4a/(4a+5b)][5√(a^2+b^2)]
sin∠GDF=sin∠BDC=5b/[5√(a^2+b^2)]，
所以三角形DGF的面积=(DG*DFsin∠GDF)/2
={[4a/(4a+5b)][5√(a^2+b^2)]*4a*5b/[5√(a^2+b^2)]}/2
=40a^2b/(4a+5b)
同理可以求右上角那一块的；具体自己做下。要下班了。