Question

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））的切线为y=3x+1

问：若函数在区间[-2，1]上单调递增，求b的取值范围

Answer 1

把x=1代入y=3x+1，得：y=4；即：f(1)=4
所以，a+b+c+1=4 ①
f'(x)=3x²+2ax+b
f'(1)=3，即：2a+b+3=3 ②
由①②得：a=-b/2，c=-b/2+3
所以，f‘(x)=3x²-bx+b
f(x)在[-2,1]上递增，即f'(x)≧0对[-2,1]恒成立
f’(x)=3x²-bx+b≧0，即f'(x)在区间[-2,1]上的最小值大于等于0；
（1）b/6<-2，即：b<-12时，f‘(x)min=f'(-2)≧0
即：12+3b≧0，得：b≧-4
又b<-12，无交集，舍去；
（2）-2≦b/6≦1，即：-12≦b≦6时，f'(x)min=f'(b/6)=-b²/12+b≧0，得：0≦b≦12
所以，0≦b≦6；
（3）b/6>1，即：b>6时，f'(x)min=f'(1)=3≧0，
所以，b>6
综上，b的取值范围是：b≧0

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

Answer 2

f'(x)=3x²+2ax+b，
因为在点P（1，f（1））处的切线为y=3x+1，
所以f'(1)=3+2a+b=3，
解得　a=-2/b，
f'(x)=3x²-bx+b
因为f(x)在[-2,1]上增，所以f'(x)≥0在x∈[-2,1]上恒成立，
即3x²+(1-x)b≥0，x∈[-2,1]
当x=1时，上式成立，
当x∈[-2,1)时，1-x>0
所以　b≥-3x²/(1-x)，x∈[-2,1)，
b≥[-3x²/(1-x)]max，x∈[-2,1)，
即　b≥0