Question

已知定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=|x-a^2|-a^2.若对任意的x∈R，恒有f（x+a）≥f(x)，

求a范围。求详细过程，谢谢

Answer 1

解：a=0 ,f(x)=x,符合题意
a≠0时：
x>=0时,f(x)=|x-a^2|-a^2
在 [0,a^2] , f(x)=-x，递减
在 [a^2，+∞）,f(x)=x-2a^2 递增
f(x)是奇函数
x＜0,,f(x)=-|x+a^2|+a^2
[-a^2,0) ,f(x)=-x,递减
(-∞,-a^2],，+∞）,f(x)=x+2a^2递增
f(x)在[-a^2,a^2]上递减，区间长度为2a^2
在[a^2,+∞)递增
x属于R,恒有f(x+1)>=f(x)
即 f(-a^2+1)≥f(-a^2)
需4a^2≤1 ==> -1/2≤a≤1/2, a>0
∴实数a的取值范围 0<a≤1/2