Question

求：介值定理的证明 请问微积分学中介值定理是怎样证明的? 书中没有.

Answer 1

介值定理是说,对于闭区间[a,b]上的连续函数f（x）,在最大值M与最小值m之间的任意实数ζ,总可以在该函数定义域内找到一个点c,使得f（c）=ζ.
证明如下：若M=m,命题显然成立；
若m＜M,由于闭区间上的连续函数f（x）比有最大（小）值,因此设f（x（1））=m,f（x（2））=M,并且
a≤x（1）＜x（2）≤b,若f（x（1））=ζ或者f（x（2））=ζ,则取c=x（1）或者x（2）即可,若m＜ζ＜M,
作函数g（x）=f（x）-ζ,从而g（x（1））=f（x（1））-ζ＜0,g（x（2））=f（x（2））-ζ＞0,这样在区间
（x（1）,x（2））内存在一点c,使得g（c）=f（c）-ζ=0,即f（c）=ζ.
需要说明的就是上述证明中用到如下的定理：若函数f（x）在区间[a,b]上连续,并且f（a）f（b）＜0,则在区间（a,b）内存在一点c,满足f（c）=0.