Question

直线y=-2x+4与x轴、y轴的交点分别为A、B，点C坐标为（0,6），在直线y=x-2上找一点P，是△ABC的面积等于△

直线y=-2x+4与x轴、y轴的交点分别为A、B，点C坐标为（0,6），在直线y=x-2上找一点P，是△ABC的面积等于△ABP的面积，求点P坐标

Answer 1

答案P点坐标是（0，-2），详细过程如下：

绘制草图，如上：A点坐标（2，0），B点坐标（0，4），三角形ABC的面积为S=0.5 × 2 × 6 =6

情况1：当P点在BA的上方，即P1点时，设P点坐标为（a，a-2）

            三角形ABP的面积为S1=0.5 × [（a-2）+4] × a － 0.5 ×（a-2）× （a-2）－ 0.5 × 2 × 4=3a-4（用梯形减去三角形的面积来求的）

            当S1=S时，a=10/3

情况2：当P点在BA的下方，即P2点时，设P点坐标为（a，a-2）

           当P在一象限时，即a>0，此时三角形ABP的面积S2=0.5 × a ×（2-a）+ 0.5 × 2 × 4 = 0.5 × a ×（2-a）+4，当S2=S时，（a-1）^2 + 3 = 0 ，所以不存在这样的a，即无P点

           当P在四象限时，即a<0，此时三角形ABP的面积S3=0.5 × （-a + 2） ×（2-a）+ 0.5 × 2 × 4 = 0.5 × （-a + 2） ×（2-a）+ 4，当S3=S时，（a-2）^2=4，得a=0或4。因为要求a<0，所以无满足要求的P点

情况3：当P点在Y轴上时，即坐标为（0，-2），此时计算△ABP的面积等于△ABC的面积，所以P点的坐标为（0，-2）

Answer 2

设原点为O，A点坐标为（2,0），B点坐标为（0,4）
因为C点坐标为（0,6），以BC为底，则高即为A点到y轴的距离|OA|，所以高|OA|为2
底|BC|=6-4=2
所以三角形ABC的面积为：S=|BC|*|OA|/2=2*2/2=2
线段|AB|的长度为：|AB|=√[(|OA|)^2+(|OB|)^2]=√(2^2+4^2)=2√5
设P点为（x0，y0），则P点到直线y=-2x+4的距离即为三角形ABP上AB的高，即为d
则：d=|2x0+y0-4|/√(2^2+1^2)=|2x0+y0-4|/√5 （1）
(直线Ax+By+C=0，点(Xo,Yo到这直线的距离就为: │AXo+BYo+C│/√(A²+B²) ）
由于P点在直线y=x-2上，满足直线方程即：y0=x0-2，代入（1），得：
d=|3x0-6|/√5
所以三角形ABP的面积为：|AB|*d/2=2√5*(|3x0-6|/√5)/2=|3x0-6|
三角形ABC的面积等于三角形ABP的面积，即：
|3x0-6|=2
所以：x0=8/3，或者x0=4/3
P点在直线y=x-2上，所以P点的坐标为：
（8/3，2/3）或者（4/3，-2/3）