Question

在xOy坐标平面上,连续曲线L过点M(1,0),其上任意点P(x,y)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于x,求L的方程

Answer 1

设曲线L方程为y=f(x)

曲线过点M(1,0)，则f(1)=0

曲线在任意点P(x,y)的斜率为y'=f'(x)

直线OP的斜率为k=y/x

由题意，斜率之差为x，则有 y'-y/x=x

相当于解微分方程 y'/x-y/x^2=1

(y/x)'=y'/x-y/x^2=1

∴ y/x=x+C

y=f(x)=x^2+Cx

由初始条件f(1)=0可得

1+C=0 => C=-1

∴ y=f(x)=x^2-x

即曲线L的方程为y=x^2-x

曲线斜率

曲线的上某点的斜率则反映了此曲线的变量在此点处的变化的快慢程度。

曲线的变化趋势仍可以用过曲线上一点的切线的斜率即导数来描述。导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。

当f'(x)>0时，函数在该区间内单调递增，曲线呈向上的趋势；当f'(x)<0时，函数在该区间内单调减，曲线呈向下的趋势。

在区间(a, b)中，当f''(x)<0时，函数在该区间内的图形是凸（从上向下看）的；当f''(x)>0时，函数在该区间内的图形是凹的。

Answer 2

设曲线L方程为y=f(x),
曲线过点M(1,0)，则f(1)=0
曲线在任意点P(x,y)的斜率为y'=f'(x)
直线OP的斜率为k=y/x
由题意，斜率之差为x，则有 y'-y/x=x
相当于解微分方程 y'/x-y/x^2=1
(y/x)'=y'/x-y/x^2=1
∴ y/x=x+C
y=f(x)=x^2+Cx
由初始条件f(1)=0可得
1+C=0 => C=-1
∴ y=f(x)=x^2-x
即曲线L的方程为y=x^2-x

Answer 3

请问L是什么函数的曲线？否则没法做啊

追问

连续曲线啊

追答

额……连续曲线有三角函数曲线 反函数曲线 半圆 椭圆等等 告诉我 你学了什么函数了