Question

如图半径分别为m,n的两圆⊙O1和⊙O2相交于P,Q两点，且点P（4,1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1与x轴

如图半径分别为m,n的两圆⊙O1和⊙O2相交于P,Q两点，且点P（4,1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1与x轴，y轴分别切于点M，点N，⊙O2与x轴，y轴分别切于点R，点H。
（1）求两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式；
（2）求两圆的圆心O1，O2之间的距离d；
（3）令四边形PO1QO2的面积为S1,
四边形RMO1O2的面积为S2.
试探究：是否存在一条经过P,Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为的抛物线？若存在，亲、请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）由题意可知O1（m，m），O2（n，n），
设过点O1，O2的直线解析式为y=kx+b，则有：
mk+b=mnk+b=n
（0＜m＜n），解得
k=1b=0
，
∴所求直线的解析式为：y=x．
（2）由相交两圆的性质，可知P、Q点关于O1O2对称．
∵P（4，1），直线O1O2解析式为y=x，∴Q（1，4）．
如解答图1，连接O1Q．
∵Q（1，4），O1（m，m），根据两点间距离公式得到：
O1Q=
(m-1)2+(m-4)2
=
2m2-10m+17
又O1Q为小圆半径，即QO1=m，
∴
2m2-10m+17
=m，化简得：m2-10m+17=0 ①
如解答图1，连接O2Q，同理可得：n2-10n+17=0 ②
由①，②式可知，m、n是一元二次方程x2-10x+17=0 ③的两个根，
解③得：x=5±2
2
，∵0＜m＜n，∴m=5-2
2
，n=5+2
2
．
∵O1（m，m），O2（n，n），
∴d=O1O2=
(m-n)2+(m-n)2
=8．
（3）假设存在这样的抛物线，其解析式为y=ax2+bx+c，因为开口向下，所以a＜0．
如解答图2，连接PQ．
由相交两圆性质可知，PQ⊥O1O2．
∵P（4，1），Q（1，4），
∴PQ=
(4-1)2+(1-4)2
=3
2
，又O1O2=8，
∴S1=
1
2
PQ•O1O2=
1
2
×3
2
×8=12
2
；
又S2=
1
2
（O2R+O1M）•MR=
1
2
（n+m）（n-m）=20
2
；
∴
|s1-s2|
2d
=
|122-202|
2×8
=1，即抛物线在x轴上截得的线段长为1．
∵抛物线过点P（4，1），Q（1，4），
∴
16a+4b+c=1a+b+c=4
，解得
b=-(5a+1)c=5+4a
，
∴抛物线解析式为：y=ax2-（5a+1）x+5+4a，
令y=0，则有：ax2-（5a+1）x+5+4a=0，
设两根为x1，x2，则有：x1+x2=
5a+1
a
，x1x2=
5+4a
a
，
∵在x轴上截得的线段长为1，即|x1-x2|=1，
∴（x1-x2）2=1，∴（x1+x2）2-4x1x2=1，
即（
5a+1
a
）2-4（
5+4a
a
）=1，化简得：8a2-10a+1=0，
解得a=
5±17
8
，可见a的两个根均大于0，这与抛物线开口向下（即a＜0）矛盾，
∴不存在这样的抛物线．