已知A,B,C为锐角三角形ABC的三个内角,求证:sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC>2π
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先证当A为锐角时有
sinA+tanA>=3(3A-π+√3)/2 （1）
令f(A)=sinA+tanA-3(3A-π+√3)/2，其中A属于(0,π/2)
则f'(A)=cosA+1/(cosA)^2-9/2=(2cosA-1)((cosA)^2-4cosA-2)/(2(cosA)^2)
易证(cosA)^2-4cosA-2<0，故此易得
当0<A<π/3时f'(A)<0;
当A=π/3时f'(A)=0;
当π/3<A<π/2时f'(A)>0.
由此可见f(A)>=f(π/3)=0，即（1）式成立。
从而有
sinA+tanA>=3(3A-π+√3)/2
sinB+tanB>=3(3B-π+√3)/2
sinC+tanC>=3(3C-π+√3)/2
三式相加即得
sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC>=9√3/2>2π
sinA+tanA>=3(3A-π+√3)/2 （1）
令f(A)=sinA+tanA-3(3A-π+√3)/2，其中A属于(0,π/2)
则f'(A)=cosA+1/(cosA)^2-9/2=(2cosA-1)((cosA)^2-4cosA-2)/(2(cosA)^2)
易证(cosA)^2-4cosA-2<0，故此易得
当0<A<π/3时f'(A)<0;
当A=π/3时f'(A)=0;
当π/3<A<π/2时f'(A)>0.
由此可见f(A)>=f(π/3)=0，即（1）式成立。
从而有
sinA+tanA>=3(3A-π+√3)/2
sinB+tanB>=3(3B-π+√3)/2
sinC+tanC>=3(3C-π+√3)/2
三式相加即得
sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC>=9√3/2>2π
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