Question

什么是向量空间向量空间的定义

Answer 1

　　向量空间又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。那么你对向量空间了解多少呢?以下是由我整理关于什么是向量空间的内容，希望大家喜欢!

　　向量空间的简介
　　在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。

　　向量空间它的理论和 方法 在科学技术的各个领域都有广泛的应用。
　　向量空间的线性映射
　　若 V 和 W 都是域F上的向量空间，可以设定由V到W的线性变换或“线性映射”。这些由V到W的映射都有共同点，就是它们保持总和及标量商数。这个集合包含所有由V到W的线性映射，以 L(V, W) 来描述，也是一个域F上的向量空间。当 V 及 W 被确定后，线性映射可以用矩阵来表达。

　　同构是一对一的一张线性映射。如果在V 和W之间存在同构，我们称这两个空间为同构;域F上每一n维向量空间都与向量空间F同构。

　　一个在F场的向量空间加上线性映射就可以构成一个范畴，即阿贝尔范畴。
　　向量空间的额外结构
　　研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下：

　　一个实数或复数向量空间加上长度概念。就是范数称为赋范向量空间。

　　一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念，称为内积空间。

　　一个向量空间加上拓扑学符合运算的(加法及标量乘法是连续映射)称为拓扑向量空间。

　　一个向量空间加上双线性算子(定义为向量乘法)是个域代数。
　　向量空间的公理化定义
　　设F是一个域。一个F上的向量空间是一个集合V和两个运算：

　　向量加法: V + V → V, 记作 v + w, ∃ v, w∈V

　　标量乘法: F × V → V, 记作 a·v, ∃a∈F, v∈V

　　符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)：

　　向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w;

　　向量加法交换律：v + w = w + v;

　　向量加法的单位元：V 里有一个叫做零向量的 0，∀ v ∈ V , v + 0 = v;

　　向量加法的逆元素：∀v∈V, ∃w∈V，使得 v + w = 0;

　　标量乘法分配于向量加法上：a(v + w) = a v + a w;

　　标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v;

　　标量乘法一致于标量的域乘法: a(b v) = (ab)v;

　　标量乘法有单位元: 1 v = v, 这里 1 是指域 F 的乘法单位元。

　　有些教科书还强调以下两个公理：

　　V 闭合在向量加法下：v + w ∈ V

　　V 闭合在标量乘法下：a v ∈ V

　　更抽象的说，一个F上的向量空间是一个F-模。V的成员叫作向量，而F的成员叫作标量。若F是实数域R，V称为实向量空间;若F是复数域C，V称为复向量空间;若F是有限域，V称为有限域向量空间;对一般域F，V称为F-向量空间。