Question

高中数学《圆的方程》 大神请进！！急！！！

问题如图，我用自己的方法算出了答案，对自己的方法不满意，想听听大神们快速、简单的解题方法。财富先给30，收到答案之后再加20，这样的题目 50的悬赏已经很高了，希望能收到大神精彩的解析，不要让我失望。

Answer 1

P在圆C：(x-3)²+(y-4)²=1上
则可设P(3+cosa，4+sina)
PA²=(3+cosa)²+(5+sina)²=35+6cosa+10sina
PB²=(3+cosa)²+(3+sina)²=19+6cosa+6sina
PA²+PB²=54+16sina+12cosa
=54+20sin(a+θ)，其中tanθ=12/16=3/4
当且仅当sin(a+θ)=1时，PA²+PB²有最大值74
易得：sinθ=3/5，cosθ=4/5
sin(a+θ)=1，则：a+θ=π/2+2kπ
a=π/2+2kπ-θ
则：sina=sin(π/2+2kπ-θ)=cosθ=4/5，
cosa=sinθ=3/5
所以，点P的坐标为P(18/5,24/5)

ps：先提供常规解法，等会奉上简单解法。

简单解法：
知识储备，平行四边形中，对角线的平方和=四边的平方和。
可由向量推出：|a+b|²+|a-b|²=2(a²+b²) （全是向量）
以PA，PB为临边画平行四边形PAQB，
则：2(PA²+PB²)=AB²+PQ²=4+PQ²
要使PA²+PB²最大，即PQ²最大
易得，P,Q两点关于原点对称
所以，PQ=2PO
只要使PO最大即可
PO(max)=PC+r=PC+1=6
当且仅当P是线OC的延长线与圆的交点时，PC有最大值6
设P(x,y)，OP=(6/5)*OC（是向量）
(x,y)=(6/5)*(3,4)=(18/5,24/5)

ps：平行四边形的那个结论，也可用于三角形中
|a+b|²+|a-b|²=2(a²+b²)，则：|a+b|²=2(a²+b²)-|a-b|²
则：|(a+b)/2|²=(a²+b²)/2-|a-b|²/4
即三角形ABC中，取AB中点M，则：CM²=(CA²+CB²)/2-AB²/4
这就是中线长公式了，向量是非常强大的
但推荐记平行四边形的那个结论：对角线的平方和=四边的平方和。
这个结论便于记忆。

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

Answer 2

当ap通过圆心时显然是最大的pb+pc>bc.三角形两边之和大于第三边，懂了么，此时pa+pb才是最大的

Answer 3

楼上的方法并不简单.

由余弦定理得|PA|²+|PB|²-4=2|PA|·|PB|cos∠APB，
所以|PA|²+|PB|²=2|PA|·|PB|cos∠APB+4=2PA·PB+4，(PA，PB是向量)
设P(x,y)，则有|PA|²+|PB|²=2(x,y+1)(x,y-1)+4=2x²+2y²+2=2(x²+y²+1).
即求圆上的点，使其到原点的距离最大，由图形可知过圆心时最大.
因而只需求直线y=4x/3与圆的交点，得P(18/5,24/5).

Answer 4

中线长公式：AM²=1/2*AB²+1/2*AC²-1/4*BC²（此AB非彼AB）
所以最大值点应该是AB中点M和圆心连线所在直线与圆交点较远点

中线长公式的一个证明：中线AM把三角形ABC分成了两小块，在两块里分别用余弦定理（∠AMB,∠AMC）然后由于两个角余弦是相反数，在两式中消去cos就行了

Answer 5

画画图，一看即明，有很多方法，用极坐标是一种，几何法也是一种即直接求x2+y2的最大值，就知道结果咯。楼上是正解哈