Question

三重积分细节问题

Dxy是怎么看出来的，为什么是右边那样？？z呢？？
为什么0≤r≤2cosθ，怎么得到的？？？？
刚学，不知道一些已知条件的处理，希望多多赐教！！

Answer 1

其实，此题的Ω是一个母线平行于z轴的柱体，0≤z≤2；该柱体在xoy面上的投影域为Dxy（如你给的图），将极坐标与直角坐标变换公式：x=rcosθ，y=rsinθ代入y=√(2x-x^2)，就得到r=2cosθ，在Dxy内部，r的取值是从0到2cosθ的。

追问

明白明白!!
那a>0
1.（x-a）^2+y^2≤a^2， -π/2≤θ≤π/2,0≤r≤2cosθ

2.（x+a）^2+y^2≤a^2， π/2≤θ≤3π/2,0≤r≤-2cosθ
这两个的θ、r的取值是怎样算出来的？？

追答

1、（x-a）^2+y^2≤a^2是以（a，0）为圆心、a为半径的圆，正好切y轴于原点、在y轴右侧，从原点发出的射线穿过圆时，从x轴正向转到射线的极角θ正好取值是从 -π/2到 -π/2，极半径从0到
2acosθ；
2、（x+a）^2+y^2≤a^2是以（-a，0）为圆心、a为半径的圆，正好切y轴于原点、在y轴左侧，从原点发出的射线穿过圆时，从x轴正向转到射线的极角θ正好取值是从 π/2到 3π/2，极半径从0到
2acosθ。
祝你不断进步！

追问

1.（x-a）^2+y^2≤a^2， -π/2≤θ≤π/2,0≤r≤2cosθ

极角θ我懂了,
而r,我将x=rcosθ，y=rsinθ反代入圆的方程,得出的是
r^2×cosθ≥0,算不出来了.

追答

代入后应该得：r^2-2arcosθ≤0→r≤2acosθ呀，你怎么化简的呢？

追问

我把所有a也都给代入r了,

现在算出来了,
那
1.（x-a）^2+y^2≤a^2， -π/2≤θ≤π/2,0≤r≤2cosθ

是错的咯,是0≤r≤2a·cosθ对吧!!

追答

a是常数，x、y才是变量。
最后的式子对了！

Answer 2

先一后二，他这个是往xoy面做投影了，0≤r≤2cosθ就是把直角二重积分的转化为极坐标，z没有了是因为它对应的定积分就变成常数了。不懂追问

追问

我是初学,是要靠理解一些题再完善脑中的轮廓,
所以麻烦你说得具体上些,哪里在哪投影?
直角二重积分的转化为极坐标是怎么化??
拜托了!!

追答

就是把Ω投影到xoy面，直角二重积分的转化为极坐标就是先把上下限写出来，然后被积函数由f（x，y）变为rf（rcosθ，rsinθ），至于上下限，对于五种不同形式的圆域要牢记（下面的a>0）
（1）形如x^2+y^2≤a^2，对应极坐标积分限为0≤θ≤2π，0≤r≤a
（2）（x-a）^2+y^2≤a^2，-π/2≤θ≤π/2,0≤r≤2cosθ
（3）x^2+(y-a)^2≤a^2，0≤θ≤π，0≤r≤2sinθ。
（4）（x+a）^2+y^2≤a^2，π/2≤θ≤3π/2,0≤r≤-2cosθ
（5）x^2+(y+a)^2≤a^2，π≤θ≤2π，0≤r≤-2sinθ
这道题中的D就是第（2）种情况，不懂继续追问

追问

（1）形如x^2+y^2≤a^2，对应极坐标积分限为0≤θ≤2π，0≤r≤a
我知道圆x^2+y^2≤a^2,是以(0,0)为圆心,半径为a,0≤θ≤2π所以0≤r≤a.

可是
（2）（x-a）^2+y^2≤a^2，-π/2≤θ≤π/2,0≤r≤2cosθ
是以(a,0)为圆心,半径为a,
不也是0≤θ≤2π所以0≤r≤a,我看不出跟(1)有什么不一样.

追答

不是啊，这个（2）是把（1）平移了，形状虽然没有变，但是极径r和极角θ都变了，因为虽然是取了坐标变换，但是坐标的原点没有变，r还是与原点的距离，θ也是与原点连线的夹角，所以是
-π/2≤θ≤π/2，你所谓0≤θ≤2π是与圆心的夹角，而不是与原点的夹角。
至于r，是利用关系式x=rcosθ，y=rsinθ反代入圆的方程，得出r的范围
不懂继续追问，感觉你不太熟悉极坐标

追问

哦，有些清楚了，
0≤r≤2cosθ算了之后老不对。

懂了这道题，我感觉会学习了好多。
真对不住了！！

追答

这个……，极坐标一句两句讲不太清，实在不行你先记结论，也可以做题