Question

过点P(4,8)作圆x^2+y^2-2x-4y-20=0的割线,所得弦长为8,求此割线所在的直线方程

Answer 1

圆方程为：(x-1)²+(y-2)²=25
∴圆心(1,2)，半径为5
设直线方程是：y-8=k(x-4)，即：kx-y+8-4k=0
∴圆心到直线距离为：d=|k-2+8-4k|/√(1+k²)=|3k-6|/√(1+k²)
∴4²+[|3k-6|/√(1+k²)]²=5²
解得，k=3/4
∴直线有两条，1条斜率不存在，为x=4；另一条为：y=3/4x+5

追问

斜率不存在怎么看的

追答

一般绝对值方程求出的根应该是2个，但现在只有1个根k=3/4，所以可以断定还有1个，当然是斜率不存在的那一个了，也就是x=4

Answer 2

圆方程配方得 (x-1)^2 (y-2)^2=25，
因此圆心 Q（1，2），半径 r=5，
由于弦长 L=8 ，
因此由勾股定理得圆心到直线的距离为 d=√[r^2-(L/2)^2]=3 ，
设割线方程为 A(x-4) B(y-8)=0 ，
由点到直线距离公式得 d=|-3A-6B|/√(A^2 B^2)=3 ，
化简整理得 B(4A 3B)=0 ，
取 A=1，B=0 或 A=3 ，B= -4 ，得所求割线方程为 x=4 或 3x-4y 20=0 。

追问

d=|-3A-6B|/√(A^2 B^2)=3 是怎么算的，详细步骤