Question

问一道平面向量数学题

Answer 1

解：由已知：在△ABC中，∵向量CB=向量a，向量CA=b，a·b=0∴CB⊥CA∴在Rt△ABC中，由勾股定理知|a|^2+|b|^2=|AB|^2，代入数字求得|AB|=√5（取正值）。∵CD为AB边的高∴|a|·|b|=|AB||CD|∴|CD|=2√5/5∴在Rt△CAD中，由勾股定理知|AD|^2+|CD|^2=|b|^2，代入数字求得|AD|=4√5/5（取正值）。又∵向量AB=向量CB-向量CA=a-b，而|AD|=4/5|AB|，且向量AB与向量AD共线，∴向量AD=4/5(a-b)。∴选D

追问

为什么向量CB=向量a，向量CA=向量b了，CB就垂直于CA呢？另外希望配个图解释的比较详细好么？

追答

因为题目中有a·b=0，即两向量的数量积为0，那么两向量就垂直，所以CB垂直CA。如图：

Answer 2

∵D在AB上,CB=a,CA=b
设AD=m*AB=m(CB-CA)=m(a-b)
∴CD=CA+AD=CA+m(CB-CA)
=mCB+(1-m)CA
=ma+(1-m)b
∵CD⊥AB
∴CD●AB=0
即[ma+(1-m)b]●(a-b)=0
m|a|²-(1-m)|b|²+(1-2m)a●b=0
∵|a|=1,|b|=2,a●b=0
∴m-4(1-m)=0
∴m=4/5
∴CD=4/5a-4/5b
选D