Question

lim(n→∞)[1-x^（2n)]/[1+x^(2n)]的极限？详细解答，谢谢！

老师说是分三种情况，第一，x^2>1时，第二，x^2<1时，第三，x^2=1时。

Answer 1

解：
∵x²≥0，因此可设t=x²
原极限=lim(n→∞)[1-t^n)]/[1+t^n]
1）
当t=0时，即：x=0时：
原极限=(1-0)/(1+0)=1
2)
当0<t<1时，即：-1<x<1时：
考察指数函数性质：
y=a^x可知，当0<a<1时，y是趋近于0，因此：
原极限=(1-0)/(1+0)=1
3)
当t=1时，即x=±1时：
原极限=（1-1）/(1+1)

=0
当t>1时，即：x<-1或x>1时
原极限=lim(n→∞)[(1/t^n)-1]/[(1/t^n)+1]
=(0-1)/(0+1)
=-1
综上：
当x=±1，即x²=1时，
原极限=0
当x<-1或者x>1时，即x²>1时，
原极限=-1
当-1<x<1时，即：x²<1时，
原极限=1

追问

虽然有点乱 但我看懂了 就是大于一 小于一 等于一 三种情况 怎么又出来个大于等于0？有必要么！

追答

因为x的取值是全体实数，你如果不讨论0，不就漏掉了么？

Answer 2

第一，x^2>1时，极限是1
第二，x^2<1时，极限是1
第三，x^2=1时，极限是0

追问

做错了！不对！

追答

第一，x^2>1时，极限是-1
第二，x^2<1时，极限是1
第三，x^2=1时，极限是0

追问

嗯 结果是这样 可我不明白的是 x^2<1时，lim(n→∞)[1-x^（2n)]/[1+x^(2n)]=lim(n→∞)[1^n-(x^2)^n]/[1^n+(x^2)^n]=lim(n→∞)[1-(x^2/1)^n]/[1+(x^2/1)^n]=1,这我就不明白了，(x^2/1)^n为什么就等于0了？

追答

x^2<1，lim(n→∞)[1-x^（2n)]=-∞

追问

错，x^2<1，lim(n→∞)[1-x^（2n)]=1，虽然帮我回答了 但不是我想要的 我刚才自己弄明白了 恍然大悟 我陷进去了 才出来 哈哈 谢谢！

追答

噢。我看错了。