Question

傅里叶变换

Answer 1

当白色的光经过三菱镜的时候，就会分解成七色光。这就是一种傅里叶变换，将白色光分解成其中颜色的光，逆变换是七色光合成白色光。

光是具有波粒二象性，所以我们可以认为光是波，那么，他的函数就是 , 其中 表示频率, 每一种颜色的光都是一个正弦波函数，所以白色光的函数表示就是:

我们看到的是7色光，而实际上是无穷多光，所以标准的表达式:

我们能够同时听到各种各样的声音，但是，我们的大脑弄将噪音剔除，而听清楚人的说话声音。这个过程与七色光是类似的。每一个声音都是一个波，那么，大脑将声音分解出来，将自己不想听的声波过滤掉，就是滤波，那么，就能够从混合的声音中听清楚想要的声音了。

前面所说的例子，都涉及到一个操作，就是变换，这种变换就傅里叶变换，将一个函数分解成若干个函数的线性组合。

先从傅里叶级数入手。对于任意一个周期函数 其周期为 , 其可以分解成如下:

为什么是上面的公式？从几个方面来解释, 1. 周期 2. 函数分解 3. 函数的基

因为 的周期是 , 所以，我们选择的函数，需要也是周期是 , 在上面的式子中, 的最小周期是 ， 因为其最小周期是 ，所以 也是其周期。

例如

通过上面的解释，我们知道 和 都是满足周期是 的。

任何一个函数都能够分解成一个奇函数和一个偶函数的和。

因为

所以 是奇函数; 同理可以证明 是偶函数。

在介绍函数的基，先看看向量基，这是我们熟悉的事情。对于直角坐标系任意点

都可以通过两个基本向量来表示, 分别是 和 , 也就是:

三维的也同样,

在向量空间，我们将 , 称作基向量，而任何一个向量都可以通过基向量的线性组合来表示出来。

那么，函数能否有类似的这样一组基来表示成函数基的线性组合呢？如果能够表示成基的线性组合，那么函数的分解这个问题也就解决了？

看看向量基具备的特性，然后，我们在仿照来寻找函数基.

向量满足正交性。也就是

顺便说一下, 其实代表了两个向量的相似度，正交基是垂直的所以相似度为0.

根据向量的正交性，可以推断出函数的正交性是满足

现在来考察 , 为了简单起见，令 , 考察 区间, 这样就是看 与 .

所以与向量的正交性定义是一致的，所以认为 与 是正交的。

同样的方式，可以证明以下是正交的:

所以， 是正交的，这也就是我们看到的傅里叶表达式，可以通过 这三个正交基来线性组合表达的方式。

有了函数正交基的概念，求解系数就变得非常容易，因为相互正交的积分为0, 自己与自己正交为 。先求解

为了简单，我们假设 , 对 两边同时乘以正交基 并积分。如下:

所以有

同理也可以推导出

对于 来说，乘以 后做积分即可。

可以看出每一个系数实际就是 乘以 其相应正交基的积分。

上面是假设 ，那么，去掉这个限制，用 来表示，就是如下:

求 的傅里叶级数，当 .

依据公式，求得:

, ,

所以

令 , 有

所以有:

这么神奇的级数和。

欧拉公式:

通过欧拉公式，变换得到:

带入到傅里叶级数中有:

通过上面的等式，也可以得出:

现在复数域上傅里叶变换的表达式就是:

在这种变化下，正交基是 与 。也就是:

当 时,

当 时,

所以也是符合符合正交基的定义的。有了正交基，计算 就方便了，两边乘以 积分即可。所以有:

前面的计算是假设 , 更通用的公式是:

傅里叶级数将函数从时域转换到频域。我们将傅里叶级数稍稍变化一下写法，以向量的形式写出来。就是:

我们将系数向量单独看，也就是说任何一个函数 , 如果，我们知道了系数向量也就知道了 , 因为函数基的向量都是一样的，每一个函数基又是周期函数，所以频率就代表了这个函数基，这样周期函数组成的函数基空间，就是频域。可以用下面的式子来表达:

是 的 傅里叶级数变换; 是 的逆变换。如果讲 以 为坐标系绘制成图像，就是频谱。

目前为止，我们使用了两种变换，分别是实数域变换和复数域变换，变幻出了不同的系数。那么，这些系数有什么含义？

在正弦函数基变化下，我们知道对于 其中, 是振幅，也就是代表了正弦波的能量。所以不论在哪种分解下，都是能量在不同的维度上的分解。

对于复数域上:

其中 表示 的共轭。

所以这些系数也可以看做是能量。上面的推导，也叫: 帕塞瓦。

前面的傅里叶级数是基于周期是 的周期函数变换而来。那么对于非周期函数如何解决呢？ 可以将其转化成 的函数来看待。为了方便，我们假设周期 .

令

将以上带入 有:

令:

有:

这与傅里叶级数的形式是一样的（一个是积分一个是求和）, 是函数基。 的傅里叶变换就是 , 是 的傅里叶逆变换， 。 就是频率曲线。

绘制出来是频谱，那么 就是曲线。

这幅图很好的说明了这个过程:

, 那么 的傅里叶变换 是什么呢？直接计算:

所以 。这个性质在解微分方程的时候，非常方便。
帕塞瓦定理:

卷积的傅里叶变换。 卷积操作的傅里叶变换推导:

所以 和 的卷积的傅里叶变换就是， 独自傅里叶变换的乘积。

在实际的情况中，我们很难获得连续的值，那么，就通过等间距采样来获得信号数据。那么，离散的采样回来的数据，如何进行傅里叶变换？这就是 离散傅里叶变换 D.F.T。

假设采样了 个等间距的点, 获得数据是 ，令 , 离散傅里叶变换的表达式如下:

令 , 就有:

上面的的式子可以写成矩阵的形式:

这就是离散傅里叶变换。那么，离散傅里叶变换的逆变换如何计算呢？ 就是对变换矩阵 求逆矩阵即可。

到此已经将傅里叶级数，傅里叶变换，离散傅里叶变化 以及 傅里叶变换的卷积相关性质介绍完毕。