Question

可行域详细资料大全

Answer 1

在最佳化设计中,一个不等式约束条件g(x)≤0可以将设计空间划分为两个部分：一部分满足约束条件g(x)<0，另一部分不满足约束条件g(x)>0，这两部分的分界面称为约束面，即g(x)=0。若某项设计有m个不等式约束条件，则由m个约束面在设计空间中形成两个区域，凡满足不等式约束方程组的设计变数选择区域，称为设计可行域，或称约束区域；凡不满足不等式约束方程组中任一个约束条件的设计变数选择区域，则称为设计非可行域或约束违反区域。可行域内的设计点所对应的解均为可行解。在最佳化设计问题中，由于存在各种设计约束，其最优设计方案通常都是可行域上的边界点。

基本介绍

• 中文名 ：可行域
• 外文名 ：feasible region
• 所属学科 ：数理科学
• 相关概念 ：线性规划、可行解、约束条件等
• 别称 ：约束区域

基本介绍,可行域的其他性质,

基本介绍

所谓 约束集合 ，就是指所有不等式约束和等式约束的交集。在此集合内所有设计点x都满足全部的约束条件，故又称它为 设计可行域 ，表示为： 其中假设函式 和h(x)都是连续的。这样，对于一个约束的最佳化设计问题，由于约束面的存在而把设计空间划分为两个区域： 设计可行域D 和 非可行域 。因而，最优解或可接受设计解只能从可行域内的各点中产生。 显然，若在可行域内不存在设计点，则认为此可行集合是个 空集 ，此时也就得不到一个设计解，问题就可能出于所建立的约束条件与设计要求是相矛盾的。 关于约束可行域D是否为一个凸集，在凸规划理论中证明了：若各个不等约束函式 是凸函式和等式约束 是线性函式，则D是凸集。但是只要等式约束是非线性的，那么集合D一定是个非凸集。

可行域的其他性质

【例1】对于一个二维问题，当其约束条件为： 由图1 (a)可见，它是一个在第一象限内的凸集；当约束条件改为： 时，由图1 (b)可见，是一个在第一象限内的非凸集D，因为 函式是一凹函式；当约束条件 取为等式约束 时，由图1 (c)可见，也是一个非凸集，此时这个集合是在x ₁ ≥0和x ₂ ≥0（第一象限内）上 的一段曲线。 图1（a）凸集 图1 （b）非凸集 图1（c）非凸集 值得注意的是，一个约束函式经过变换，虽然表示形式不同但未改变其约束条件的性质，但有时却会影响约束函式的凸性，例如，对于x ₁ >0和x ₂ >0，且a和b为正常数，其原约束条件形式为： 可以等价地变换为下面形式（由于x ₁ 和x ₂ 均取正值，故不等式的意义没有改变）： 结果是 是凸函式，变换为 则是非凸函式，因为它们的Hessian矩阵分别为： 和 式中， 为正定矩阵； 为不定矩阵。 由此，约束函式通过形式上的变换，结果可能丢失了函式的凸性（或者相反），这也就影响可行域的约束集合的凸性条件。 根据上述可以推知，在n维欧氏空间R ⁿ 中，由一组不等式约束函式可以组成一个或几个可行域D。对于仅由一组等式约束所组成的可行域D，如果这组方程的函式是连续且彼此独立的，那么这个可行域D就是一个n-p维的子集。 对于由一组非线性约束函式所定义的可行域，确定它是凸集还是非凸集，一般说来是比较困难的，而且对于一个非凸的集合，往往是造成一个最佳化设计问题有多个约束极值的重要原因。