Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是 BC 上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线与点D

1）当点P在什么位置时，DP是圆O的切线？说明理由（2）当DP时圆O的切线时，求圆O的半径长

Answer 1

1）当P为BC弧的中点时，DP是圆的切线

理由，

连OP,交BC于点E,

因为P是BC弧的中点

所以OP⊥BC

因为BC∥DP

所以OP⊥DP

所以DP是圆的切线

 

2）

连OA,

因为AB=AC

所以A，O,E在一直线上

由勾股定理，得AE²=AB²-BE²=100-36=64

解得AE=8，

设圆的半径为r,

由BE*CE=AE*PE，得

6²=8*(2r-8)

解得r=25/4

 

Answer 2

1，当点P是弧BC的中点时，DP是圆O的切线
证明：连接AP
因为点P是弧BC的中点
所以弧BP=弧CP
因为角BAP=1/2弧BP
角CAP=1/2弧CP
所以角BAP=角CAP
所以AP是角BAC的角平分线
因为AB=AC
所以三角形ABC是等腰三角形
所以AP是等腰三角形ABC的中垂线
所以AP经过圆O
因为PD平行BC
所以AP垂直DP于P
所以DP是圆O的切线
2，解：连接BP，设AP与BC相交于点E
因为DP是圆O的切线
所以角BPD=角BAP
因为DP平行BC
所以角BPD=角PBC
因为角PBC=角CAP
所以角BAP=角CAP
所以AP平分角BAC
因为AB=AC
所以AP是等腰三角形ABC的中垂线
所以角AEB=90度
BF=CF=1/2BC
AP经过圆心O
所以AP是圆O的直径
所以角ABP=90度
在直角三角形AEB中，由勾股定理得：
AB^2=BE^2+AE^2
因为AB=AC=10
BC=2BE=12
所以AE=8
所以角ABP=角AEB=89度
角BAE=角BAE
所以三角形ABP和三角形APB相似（AA)
所以AB/AP=AE/AB
AB^2=AE*AP
所以AP=12.5
半径=AP/2=6.25
所以圆O的半径6.25

Answer 3

1）根据当点P是弧BC的中点时，得出弧PBA=弧PCA，得出PA是○O的直径，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，问题得证；
（2）利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出△ABE∽△ADP，即可得出DP的长．
解答：
解：（1）当点P是弧BC的中点时，DP是⊙O的切线．理由如下：
∵AB=AC，
∴弧AB=弧AC，
又∵弧PB=弧PC，
∴弧PBA=弧PCA，
∴PA是○O的直径，
∵弧PB=弧PC，
∴∠1=∠2，
又AB=AC，
∴PA⊥BC，
又∵DP∥BC，
∴DP⊥PA，
∴DP是⊙O的切线．
（2）连接OB，设PA交BC于点E．
由垂径定理，得BE=BC=6，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得：
AE=8，
设⊙O的半径为r，则OE=8﹣r，
在Rt△OBE中，由勾股定理，得：
r2=62+（8﹣r）2，
解得r=25/4，
∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D，
又∵∠1=∠1，
∴△ABE∽△ADP，
∴6：DP=8;2×25/4，
解得：DP=75/8．

Answer 4