Question

证明：当x→0时，（1+x）^(1/n)-1~(等价)x/n

Answer 1

x趋于0的时候,

(1+x)^(1/n)-1和x/n都趋于0

满足洛必达法则使用的条件

故，极限lim(x->0) [(1+x)^(1/n)-1] / (x/n) 对分子分母同时求导

=lim(x->0) [(1/n) *(1+x)^(1/n -1)] / (1/n) 

=lim(x->0) (1+x)^(1/n -1) 代入x=0

=1

因此在x→0时,

(1+x)^(1/n)-1等价于 x/n

扩展资料

洛必达法则：

1、分子分母同趋向于0或无穷大 。

2、在变量所趋向的值的去心邻域内，分子和分母均可导。

3、分子和分母分别求完导后比值存在或趋向于无穷大。

Answer 2

很显然x趋于0的时候，
(1+x)^(1/n)-1和x/n都趋于0，

满足洛必达法则使用的条件，
故
极限
lim(x->0) [(1+x)^(1/n)-1] / (x/n) 对分子分母同时求导
=lim(x->0) [(1/n) *(1+x)^(1/n -1)] / (1/n)
=lim(x->0) (1+x)^(1/n -1) 代入x=0
=1
因此在x→0时，
(1+x)^(1/n)-1等价于 x/n