Question

在正方形ABCD的边AB上任意取一点E,作EF⊥AB于点F

Answer 1

（1）EG=CG,且EG⊥CG．
证明：过GH⊥AB于点H,延长HG交CD于点I,作GK⊥AD于点K．
则四边形GIDK是正方形,四边形AKGH是矩形,
∴AK=HG,KD=DI=GI=AH,
∵AD=CD,
∴IC=HG,
∵AD∥GH∥EF,G是DF的中点,
∴HA=HE,
∴HE=GI,
∵在Rt△HGE和Rt△ICG中,
HE＝GI
∠GHE＝∠CIG
HE＝GI
,
∴Rt△HGE≌Rt△ICG（SAS）,
∴EG=CG,∠HGE=∠GCI,∠HEG=∠CGI,
∴∠HGE+∠CGI=90°,
∴∠EGC=90°,
∴EG⊥CG；
（2）成立．
证明：图2中,作GH⊥BC,
则EF∥GH∥CD,
又∵G是DF的中点,
∴EH=CH,
则GH是BC的中垂线,
∴GE=CG,
∵EF=EB,BC=CD
∴EF+CD=EC,
∵G是DF的中点,EH=CH,
则GH=
1
2
（EF+CD）,
∴GH=
1
2
EC,
∴△EGC是等腰直角三角形,
∴EG=CG,且EG⊥CG；
图3中,延长FE交DC延长线于M,连MG．
∵∠AEM=90°,∠EBC=90°,∠BCM=90°,
∴四边形BEMC是矩形．
∴BE=CM,∠EMC=90°,
由图（2）可知,
∵BD平分∠ABC,∠ABC=90°,
∴∠EBF=45°,
又∵EF⊥AB,
∴△BEF为等腰直角三角形
∴BE=EF,∠F=45°．
∴EF=CM．
∵∠EMC=90°,FG=DG
∴MG=
1
2
FD=FG．
∵BC=EM,BC=CD,
∴EM=CD．
∵EF=CM,
∴EF+EM=CM+DC,
即FM=DM,
又∵FG=DG,
∠CMG=
1
2
∠EMC=45°,
∴∠F=∠GMC．
∵在△GFE和△GMC中,
FG＝MG
∠F＝∠GMC
EF＝CM
,
∴△GFE≌△GMC（SAS）．
∴EG=CG,∠FGE=∠MGC．
∵∠FMC=90°,MF=MD,FG=DG,
∴MG⊥FD,
∴∠FGE+∠EGM=90°,
∴∠MGC+∠EGM=90°,
即∠EGC=90°,
∴EG⊥CG．