Question

高中数学关于椭圆的问题

比如一个椭圆的焦点在X轴上，F1为左焦点，F2为右焦点，准线是x=±a^2/c，设M点是椭圆上的动点，其坐标为(x,y)，
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我想知道的是：比如当M点在椭圆的左半部分时，为什么|MF1|/(a^2/c+x)就是椭圆的离心率，求证明。

Answer 1

圆锥曲线的第二定义,在平面内,到定点的距离与到定直线距离 之比就是离心率
具体证明如下：
设椭圆的方程为：
x^2/a^2+y^2/b^2=1 ，则y^2=b^2-b^2x^2/a^2
椭圆的焦点c^2=a^2-b^2，左焦点的坐标为（-c,0）
所以：|MF1|=√[(x+c)^2+(y-0)^2]=√[(x+c)^2+y^2]
=√[x^2+2xc+c^2+b^2-b^2x^2/a^2]
=√[(1-b^2/a^2)x^2+2cx+a^2-b^2+b^2]
=√[(c^2/a^2)x^2+2xc+a^2]
=|cx/a+a|
因为0<|x|<a，0<c<a，所以|cx|<a^2，a>0，所以|cx/a|<a
所以：|MF1|=a+cx/a
|MF1|/(a^2/c+x)=[a+cx/a]/[a^2/c+x]
=[(a^2+cx)/a]/[(a^2+cx)/c]
=c/a
=e
所以：|MF1|/(a^2/c+x)就是椭圆的离心率

Answer 2

这不就是定义吗？？？离心率=点到焦点的距离/点到准线的距离
点到左焦点的距离=|MF1|
点到左准线的距离=x-(-a^2/c)=a^2/c+x

追问

第一定义不是说e=c/a吗？怎么证明e=c/a=|MF1|/(a^2/c+x)

追答

你可以看下圆锥曲线的第二定义，这里不是用公式e=c/a

追问

我知道是第二定义，既然都表示离心率，为什么不能证明，。。晕。

Answer 3

这是圆锥曲线的第二定义,在平面内,到定点的距离与到定直线距离 之比就是离心率.这里的定点为焦点,定直线为准线,注意焦点和准线在同侧

追问

第一定义不是说e=c/a吗？怎么证明e=c/a=|MF1|/(a^2/c+x)

追答

你可以自己看看http://wenku.baidu.com/view/866e1bea4afe04a1b071de2c.html

追问

还是不懂啊，我就是证明不了啊，能不能帮忙证明一下啊

Answer 4

C=1,椭圆方程为：X(2)/4+Y(2)/3=1,
F1(-1，0）
直线PF1的斜率为负根号3，方程为Y=tan120(X+1)
联立两方程解得：P（
，）
再用P点的纵坐标乘以2C除以2就是所求面积

Answer 5

解：依题意得：
a=2
b=根号3
所以c=1
又因为PF1+PF2=2a=4
则PF2=4-PF1
F1F2=2C=2
COS120°=（PF1^2+F1F2^2-PF2^2)/(2PF1xF1F2)=-1/2
则(PF1^2+4-PF2^2)/(PF1x2)=-1
所以
PF1^2+4-(4-PF1^2)^2=-2PF1
PF1^2+4-(16-8PF1+PF1^2)=-2PFI
PFI^2+4-16+8PF1-PFI^2=-2PF1
8PF1+2PFI=12
即PF1=6/5
所以PF2=14/5
三角形的面积为
1/2PF1XFIF2=1/2X6/5X2=6/5