Question

线性代数 用三角行列式求解 1+x,2,3 1,2+y,3 1,2,3+Z

Answer 1

1+x 2 3
1 2+y 3
1 2 3+Z

当xyz≠0时
r2-r1,r3-r1
1+x 2 3
-x y 0
-x 0 z
--此为"箭形"行列式

c1+(x/y)c2+(x/z)c3
1+x+2x/y+3x/z 2 3
0 y 0
0 0 z

= (1+x+2x/y+3x/z)*yz
= xyz+yz+2xz+3xy.

当xyz=0时, 可验证上式仍成立.
故有 D = xyz+yz+2xz+3xy.
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也可以用行列式的分拆性质将行列式分拆为8个行列式的和
D=
x 0 0 1 0 0 x 2 0 x 0 3
0 y 0 + 1 y 0 + 0 2 0 + 0 y 3 + (等于0的省略)
0 0 z 1 0 z 0 2 z 0 0 3
= xyz+yz+2xz+3xy.